Question

Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba: 2^(6n+1)+9^(n+1) jest podzielna przez 11 Dam naj.

Answer 1

(w):    liczba  2^(6n+1)+9^(n+1) jest podzielna przez 11

dowód przez indukcję przeprowadza się w dwóch krokach:

1) sprawdzamy, że własność (w) jest prawdziwa dla n=1

podstawiamy do wzoru

2⁷+9²=8·8·2+81=128+81=209= 19*11 ⇒  jest podzielna przez 11

2)  z założenia, że własność (w) jest prawdziwa dla n  wynika, że własność (w)

jest prawdziwa dla n+1

a)  zakładamy, że dla n liczba jest podzielna przez 11 tzn.

2^(6n+1)+9^(n+1)=k·11  gdzie k jest l. całkowitą

b)     obliczmy dla n+1

2^[6(n+1)+1]+9^[(n+1)+1]= 2^(6n+6+1)+9^(n+1+1)=

=2⁶ · 2^(6n+1)+9·9^(n+1)

z zał. a) wyliczamy   2^(6n+1)=k·11-9^(n+1)  i wstawiamy do b)

2⁶ [k·11-9^(n+1)] +9·9^(n+1)= 2⁶·k·11-2⁶ ·9^(n+1) + 9·9^(n+1)=

=2⁶·k·11 - 9^(n+1)[2⁶-9]=64k·11 - (64-9)·9^(n+1)=

=64k·11- 55·9^(n+1)=11·{ 64k-5·9^(n+1)} = 11* l  , gdzie l jest l. całkow.

otrzymaliśmy  wielokrotność liczby 11 więc własność  (w) jest prawdziwa dla

każdego n