Question

MATEMATYKA, równanie okręgu
Sieczna k: x+y-1=0 przecięła okrąg o: x²+y²-2x+4y+1=0 w punktach A i B. Następnie w punktach A i B poprowadzono styczne do danego okręgu. Wykaż, że styczne te tworzą kąt prosty.

Ja zrobiłem tak:
1. Układ równań z równania okręgu o i tej prostej k, co pozwoliło mi wyznaczyć punkty przecięcia
A(1 , 0)
B(3 , -2)

Potem próbowałem napisać równania tych stycznych, tak aby później udowodnić, że mają przeciwne i odwrotne współczynniki kierunkowe (są prostopadłe)

niestety coś nie gra...

Pomożecie?

Answer 1

Metodą tych współczynników kierunkowych się nie da, bo jedna z tych stycznych jest pionowa (a linii prostej pionowej nie da się opisać równaniem kierunkowym). Początek rozumowania miałeś bardzo dobry i punkty przecięcia też znalazłeś prawidłowo :) Rysunek jest w załączniku.

Można spróbować operować na postaci ogólnej prostej z wektorem prostopadłym (czyli tzw. normalnym).

Środek okręgu odczytujemy z jego równania: S(1, -2).

Kąt między stycznymi jest taki sam, jak kąt między ich wektorami normalnymi.

Styczna w punkcie A jest prostopadła do promienia SA. Promień SA wyznacza nam wektor .

Styczna w punkcie B jest prostopadła do promienia SB. Promień SB wyznacza nam wektor .

Wektory są prostopadłe, gdyż ich iloczyn skalarny jest zerem:

.

A skoro wektory normalne dwóch prostych są prostopadłe, to również te linie proste są prostopadłe, cnd.

P.S. To takie rozumowanie z poziomu zaawansowanego ;) Jeśli chcesz, mogę dopisać dowód prostszy, ale siłą rzeczy dłuższy.