Matematyka, potęgi i pierwiastki DAJĘ NAJ!! proszę o rozwiązanie zadań 4, 5, 6, 7 (w załączniku), da.... Question from @Stokrotaxd

December 2018 1 14 Report

Matematyka, potęgi i pierwiastki
DAJĘ NAJ!! proszę o rozwiązanie zadań 4, 5, 6, 7 (w załączniku), daję naprawdę dużo punktów, zależy mi na tym zadaniu.

Paawełek Zad 4 a)
$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}=3^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{3^5}=\sqrt[4]{3^4 \cdot 3}=3\sqrt[4]{3}$
b)_
$\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}}=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$
c)
$4^{\frac{3}{4}} :4^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{9}{12}-\frac{4}{12}}=4^{\frac{5}{12}}=2^{\frac{10}{12}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}$
d)
$64^{\frac{1}{2}} : 64^{\frac{1}{3}}=\sqrt{64} : \sqrt[3]{64}=8:4=2$
e)
$5^{\frac{1}{2}} \cdot \left(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{4}}\right)= 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} +5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}=5^{\frac{3}{6}+\frac{4}{6}}+5^{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}}=5^{\frac{7}{6}}+5^{\frac{3}{4}}=\\ =\sqrt[6]{5^7}+\sqrt[4]{5^3}=5\sqrt[6]{5}+\sqrt[4]{125}$
f)
$\left(4^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{3}}\right)^2=\left(2+\sqrt[3]{3}\right)^2=4+4\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9} \\ \hbox{Ze wzoru} \ \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
g)
$\left(2^{\frac{1}{2}}-2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}+3\right) \cdot \left(2^{\frac{2}{3}}+3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}-4\right)= \\= 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}+3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}-4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}-2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}-2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}-4\cdot 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}+\\ +3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}+3 \cdot 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}-12=$
$=2^{\frac{7}{6}}+6-4\sqrt{2}-4-6 \cdot 2^{\frac{5}{6}}-8\sqrt[3]{2} +3\sqrt[3]{4}+9\sqrt{2}-12= \\ =2\sqrt[6]{2}-6\sqrt[6]{32}-8\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}+5\sqrt{2}-10$
Może coś źle przepisałem, że tak wyszło...
h)
$\left(a^{-\frac{1}{2}}+4\right)\left(a^{-\frac{2}{3}}+a^{-2}+1\right)= a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{-2}+a^{-\frac{1}{2}}+ \\ +4a^{-\frac{2}{3}}+4a^{-2}+4=a^{-\frac{7}{6}}+a^{-\frac{5}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}+4a^{-\frac{2}{3}}+4a^{-2}+4$

Zad. 5
$\frac{16\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{8}}{8^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[4]{2}}=\frac{2^{4} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{4}}}=\frac{2^{4+\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}}{2^{2\frac{1}{4}}}=\frac{2^{4\frac{11}{6}}}{2^{2\frac{1}{4}}}=2^{5\frac{5}{6}-2\frac{1}{4}}=2^{5\frac{10}{12}-2\frac{3}{12}}=2^{3\frac{7}{12}} \\ \\ \hbox{Tlumacze:} \\ \sqrt{8}=(2^{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}} \\ 8^{\frac{2}{3}}=(2^{3})^{\frac{2}{3}}= 2^{3 \cdot \frac{2}{3}}=2^2$

b)
$3\sqrt[4]{81} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot 9^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}=3 \cdot 3 \cdot (3^{-1})^{\frac{2}{3}} \cdot (3^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (3^{-3})^{-\frac{2}{3}}= \\ =3^2 \cdot 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-3} \cdot 3^{2}=3^{2+2-3-\frac{2}{3}}=3^{1-\frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{3}}$

Zadanie 6 a)
$1\frac{1}{2} \cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^{3}=\left(1\frac{1}{2}\right)^{4}= \left(\frac{3}{2}\right)^{4}=\frac{81}{16}$
b)
$\left(1\frac{3}{4}\right)^{-4} : \left(1\frac{3}{4}\right)^{-6}=\left(\frac{7}{4}\right)^{-4+6}=\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$
c)
$4^{9} : (4^{5} :4^{-4})= 4^{9} : 4^{5+4}=4^{9} : 4^{9}=1$
d)
$(0,8)^{8} \cdot \left(3\frac{1}{3}\right)^{8}=\left( \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{3}\right)^{8}=\left(\frac{8}{3}\right)^{8}$
e)
$5^{13} : \left( 5^{18} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{8}\right)=5^{13} : (5^{18} \cdot 5^{-8})=5^{13} : 5^{10}=5^{13-10}=5^{3}=\\=125$
f)
$((2^{-3})^{-2})^{-1}= 2^{(-3) \cdot (-2) \cdot (-1)}=2^{-6}=\frac{1}{64}$
g)
$\frac{7^{32} \cdot 7^{63} \cdot (7^{6})^4}{(7^8)^9 \cdot (7^6)^8}=\frac{7^{32} \cdot 7^{63} \cdot \cdot 7^{24}}{7^{72} \cdot 7^{48}}=\frac{7^{32+63+24}}{7^{48+72}}=\frac{7^{119}}{7^{120}
}=\frac{1}{7}$
h)
$\frac{5 \cdot 4^{7}-6 \cdot 16^3}{2^{13}}=\frac{5 \cdot (2^2)^7-6 \cdot (2^4)^3}{2^{13}}=\frac{5 \cdot 2^{14}-6 \cdot 2^{12}}{2^{13}}=\frac{2^{12}(5 \cdot 2^2-6)}{2^{13}}=\frac{5 \cdot 2^2-6}{2}=\\=5 \cdot 2-3=10-3=7$

Zadanie 7:
a)
$\left(\frac{1}{2}\right)^6-\left(\frac{1}{2}\right)^7= \left(\frac{1}{2}\right)^6\left(1-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{6} \cdot \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^7$
b)
$3 \cdot 2^4+2^5+2^6+7 \cdot 2^4=2^4(3+2+2^2+7)=2^4(3+2+4+7)=\\ = 2^4 \cdot 16=2^4 \cdot 2^4=2^8$
c)
$5^8+3 \cdot 25^3-5^7+2 \cdot 5^6=5^8+3 \cdot 5^6-5^7+2 \cdot 5^6= \\ = 5^6 \cdot (5^2+3-5+2)=5^6(25+5-5)=5^6 \cdot 25=5^6 \cdot 5^2=5^8$
d)
$2 \cdot 3^{13} + 5 \cdot 3^{11}+12 \cdot 3^{10}=3^{10} \cdot (2 \cdot 3^3+5 \cdot 3+12)= \\ = 3^{10} \cdot (2 \cdot 27+15+12)=3^{10} \cdot (54+27) = 3^{10} \cdot 81 = 3^{10} \cdot 3^4=3^{14}$
e)
$5 \cdot 2^{15}+9 \cdot 2^{13} +6 \cdot 2^{12}=2^{12} \cdot (5 \cdot 2^3+9 \cdot 2 +6)= \\ = 2^{12} \cdot (40+18+6)= 2^{12} \cdot 64=2^{12} \cdot 2^{6}=2^{18}$