Matematyka, pierwiastki. Proszę o wytłumaczenie i podanie kilku przykładów. 1. Obliczanie wartości p.... Question from @Mussten

January 2019 1 25 Report

Matematyka, pierwiastki. Proszę o wytłumaczenie i podanie kilku przykładów.
1. Obliczanie wartości pierwiastków i upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami.
2. Potęgowanie pierwiastków i pierwiastkowanie potęg.
3. Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka.
4. Mnożenie i dzielenie pierwiastków
5. Wyłączanie wspólnego czynnika przed znak pierwiastka.
6. Porównywanie pierwiastków, włączanie liczby pod znak pierwiastka.

Proszę o podanie przykładów prostych jak i jednego skomplikowanego. Daję najlepszą odpowiedź.

loitzl9006 1. Pod pierwiastkiem kwadratowym (normalnym) masz zobaczyć liczbę do kwadratu - jak zobaczysz to "znikasz" pierwiastek
$\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4\\ \sqrt{81}=\sqrt{9^2}=9$

Pod pierwiastkiem sześciennym masz zobaczyć liczbę do trzeciej potęgi - jak zobaczysz to "znikasz" pierwiastek
$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5\\ \sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$

2. Pierwiastek kwadratowy do kwadratu daje liczbę podpierwiastkową, np.
$(\sqrt5)^2=5\\ \sqrt{2015^2}=2015$
Pierwiastek sześcienny do potęgi trzeciej daje liczbę podpierwiastkową, np:
$\sqrt[3]{7^3}=7\\ \sqrt[3]{(-54)^3}=-54$
$\sqrt[3]{32\cdot2}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$

3. W mianowniku tylko pierwiastek, np:
$\frac2{\sqrt3}$
usuwamy niewymierność następująco:
$\frac2{\sqrt3}=\frac2{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{3^2}}=\frac{2\sqrt3}3$

W mianowniku liczba przy pierwiastku, np:
$\frac4{3\sqrt2}$
robimy podobnie jak ten poprzedni, czyli mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek:
$\frac4{3\sqrt2}=\frac4{3\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{3\cdot\sqrt{2^2}}=\frac{4\sqrt2}{3\cdot2}=\frac{4\sqrt2}6$

W mianowniku pierwiastek trzeciego stopnia, np.
$\frac5{\sqrt[3]4}$
Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek trzeciego stopnia z liczby do kwadratu czyli przez $\frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^2}}$ :
$\frac5{\sqrt[3]4}=\frac5{\sqrt[3]4}\cdot\frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^2}}=\frac{5\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[3]{4^3}}=\frac{5\sqrt[3]{16}}4$

Kolejny przykład
$\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]5}$
W mianowniku jest pierwiastek trzeciego stopnia, i trzeba go usunąć poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez $\frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}$ :
$\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]5}=\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]5}\cdot\frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt[3]{25}}5$

4.
Mnożenie pierwiastków:
$\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{18\cdot2}=\sqrt{36}=6$
Uwaga!! Nie rób tego przy dodawaniu i odejmowaniu!!!
Np. $\sqrt{18}-\sqrt2\ne\sqrt{18-2}=...$ tak nie wolno bo pałę dostaniesz

$\sqrt{32}\cdot\sqrt8=\sqrt{32\cdot8}=\sqrt{256}=\sqrt{16^2}=16$

$\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]4=\sqrt[3]{2\cdot4}=\sqrt[3]8=\sqrt[3]{2^3}=2\\ \sqrt[3]{\frac53}\cdot\sqrt[3]{\frac{24}{625}}=\sqrt[3]{\frac53\cdot\frac{24}{625}}=\sqrt[3]{\frac11\cdot\frac8{125}}=\sqrt[3]{\frac8{125}}=\sqrt[3]{\frac{2^3}{5^3}}=\frac25$

Dzielenie pierwiastków:
$\sqrt{12}:\sqrt3=\sqrt{12:3}=\sqrt4=2\\ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{72}}=\sqrt{\frac{32}{72}}=\sqrt{\frac49}=\sqrt{\frac{2^2}{3^2}}=\frac23$

$\sqrt[3]{72}:\sqrt[3]9=\sqrt[3]{72:9}=\sqrt[3]8=\sqrt[3]{2^3}=2\\ \frac{\sqrt[3]2}{\sqrt[3]{-54}}=\sqrt[3]{\frac2{-128}}=\sqrt[3]{\frac1{-64}}=\sqrt[3]{\frac{1^3} {(-4)^3}}=\frac1{-4}=-\frac14$

5.
W tych przykładach pod pierwiastkiem będzie liczba, której nie przedstawisz w postaci kwadratu innej liczby. Zatem tę liczbę rozbijasz na iloczyn (mnożenie) dwóch innych liczb, z których jedna da się policzyć pierwiastek np taki przykład:
$\sqrt{32}$
Na razie nie "zobaczysz" liczby do kwadratu, bo w tabelce są: 1, 4, 16, 64 a 32 nie ma..
w takich przypadkach rozbijasz sobie na iloczyn (taki iloczyn żeby jedna z liczb była w tabelce i dało by się z niej policzyć pierwiastek):
$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt2=\sqrt{4^2}\cdot\sqrt2=4\sqrt2$
$\sqrt{75} = \sqrt{25\cdot3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt3=\sqrt{5^2}\cdot\sqrt3=5\sqrt3$

$\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=\sqrt4\cdot\sqrt{13}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{13}=2\sqrt{13}$

Pierwiastki sześcienne - to samo tylko że w iloczynie ma wystąpić 8, 27, 64, 125 itp.:

$\sqrt[3]{48}=\sqrt[3]{8\cdot6}=\sqrt[3]8\cdot\sqrt[3]6=\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]6=2\sqrt[3]6$

$\sqrt[3]{0.004}=\sqrt[3]{\frac4{1000}}=\sqrt[3]{\frac1{250}}=\frac{\sqrt[3]1}{\sqrt[3]{250}}=\frac1{\sqrt[3]{125\cdot2}}=\frac1{\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt[3]2}=\frac1{\sqrt[3]{5^3}\cdot\sqrt[3]2}=\\ = \frac1{5\sqrt[3]2}$

6.
Będzie prawdopodobnie zadanie tego typu:
która liczba jest większa: $3\sqrt2$ czy $2\sqrt3$

Aby zdecydować która jest większa to każdą z nich przedstawiasz w postaci jednego pierwiastka:

$3\sqrt2=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt2=\sqrt9\cdot\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}\\ 2\sqrt3=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt3=\sqrt4\cdot\sqrt3=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}\\ \sqrt{18}\ \textgreater \ \sqrt{12}\ \to \ 3\sqrt2\ \textgreater \ 2\sqrt3$

Pierwiastki sześcienne - ta sama reguła tylko zamieniasz np. $4\sqrt[3]6$ na $\sqrt[3]{4^3}\cdot\sqrt[3]6=\sqrt[3]{64}\cdot\sqrt[3]6=\sqrt[3]{64\cdot6}=\sqrt[3]{384}$

2 votes Thanks 1