Question

Mamy funkcje f, gdzie kazdej liczbie calkowitej przyporzadkowuje sie reszte z dzielenia tej liczby przez 7. Wykaz ze funkcja f jest funkcja okresowa i jej okresem podstawowym jest liczba 7.

Answer 1

Definicja funkcji okresowej jest, ze istnieje taka liczba T, ze dla kazdego argumentu x funkcji f zachodzi rownosc f(x+T)=f(x). Najmniejsze dodanie T spelniajace ta rownosc nazywa sie okresem podstawowym.

 

1. Pokaze ze dla T = 7, rownosc jest spelniona dla kazdego x calkowitego:

 

jezeli x jest postaci 7*k wtedy:

f(x) = f(7*k) = 0 i f(x+7) = f(7k+7) = f(7(k+1)) = 0  wiec f(x) = f(x+7)

jezeli x jest postaci 7*k +1 wtedy:

f(x) = f(7*k+1) = 1 i f(x+7) = f(7k+1+7) = f(7(k+1)+1) = 1  wiec f(x) = f(x+7)

i tak dalej...

jezeli x jest postaci 7*k +6 wtedy:

f(x) = f(7*k+6) = 6 i f(x+7) = f(7k+6+7) = f(7(k+1)+6) = 6  wiec f(x) = f(x+7)

zatem rownosc f(x) = f(x+7) dla kazdej liczby calkowitej x

 

Zatem f jest okresowa.

 

2. Pokaze teraz, ze T=7 jest najmniejsza dodatnia liczbą, dla ktorej rownosc jest spelniona.

 

T musi byc liczba calkowita, poniewaz funkcja nie jest okreslona dla niecalkowitych.

jezeli T = 1 to rownosc nie jest spelniona dla x = 0, bo f(0)=0, a f(0+1)=f(1)=1

jezeli T = 2 to rownosc nie jest spelniona dla x = 0, bo f(0)=0, a f(0+2)=f(2)=2

jezeli T = 3 to rownosc nie jest spelniona dla x = 0, bo f(0)=0, a f(0+3)=f(3)=3

jezeli T = 4 to rownosc nie jest spelniona dla x = 0, bo f(0)=0, a f(0+4)=f(4)=4

jezeli T = 5 to rownosc nie jest spelniona dla x = 0, bo f(0)=0, a f(0+5)=f(5)=5

jezeli T = 6 to rownosc nie jest spelniona dla x = 0, bo f(0)=0, a f(0+6)=f(6)=6

 

Z tego wynika, ze T=7 jest najmniejsza dodatnia liczba, ktora spelnia rownosc f(x)=f(x+T) dla kazdego x calkowitego, zatem 7 jest okresem podstawowym funkcji f.