Question

Mam trzy zadania z ciągów, proszę o dokładne obliczenia!

1. Trzy liczby, których suma jest równa 16, są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeżeli do pierwszej dodamy 1, drugą pozostawimy bez zmian, a od trzeciej odejmiemy 1, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

2. Trzy liczby o sumie 56, tworzą ciąg geometryczny. jeżeli do pierwszej z nich dodamy 3, do drugiej 2, a trzecią zmniejszymy o 7, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

3.Liczby a, b, c, d różne od zera są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
a) Znajdź iloraz tego ciągu, więdzać, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest dwa razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu.
b) oblicz a,b,c,d wiedząc, że suma trzech początkowcyh wyrazów ciągu jest równa 26 oraz ze liczby a+1, b+6, c+3, w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Answer 1

Zad.1

x,y, z - kolejne początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego
x + y + z = 16
x +1, y , z - 1 - trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
Mamy
y - x = z - y - z def. ciągu arytmetycznego
y/(x+1) = (z -1)/y - z def. ciągu geometrycznego
czyli 2y = x + z ----> y = 0,5 x + 0,5 z
y² = (x +1)*( z - 1)
x + y + z = 16
x + (0,5 x + 0,5 z) + z = 16 ---> 1,5 x + 1,5 z = 16 -->
1,5 z = 16 - 1,5 x
z = 32/3 - x
mamy zatem
y² = (x +1)*( 32/3 - x - 1)
[ 0,5 x + 0,5*(32/3 - x)]² = (x +1)*(29/3 - x)
[0,5 x + 16/3 -0,5 x]² = [(29/3)x - x² +29/3 -x]
(16/3)² =( 26/3) x - x² + 29/3
256/9 = (26/3) x - x² + 29/3 , mnożę przez 9
256 = 78 x - 9 x² + 87
9 x² - 78 x + 169 = 0
Δ = (-78)² - 4*9* 169 = 6084 - 6084 = 0
x = 78/18 = 4 i 1/3 = 13/3
z = 32/3 - 13/3 = 19/3
y = 16 - x - z = 16 - 13/3 - 19/3 = 48/3 - 32/3 = 16/3
Odp. x = 13/3
y = 16/3
z = 19/3
13/3 + 1 = 13/3 + 3/3 = 16/3
19/3 - 1= 19/3 - 3/3 = 16/3
Ciąg geometryczny będzie ciągiem stałym q = 1.



Zad.2

a1,a2,a3 - ciąg geometryczny
czyli
a2 = a1*q oraz a3 = a1*q²
mamy a1 + a2 + a3 = 56
czyli a1 + a1*q + a1*q² = 56
a1*(1 + q + q²) = 56 = 8*7
zatem a1 = 8 i 1+q + q² = 7 lub a1 = 7 i 1+q + q² = 8
I.
Sprawdzam dla a1 = 8
1+q + q² = 7 --> q*(1 +q) = 7 - 1 = 6 = 2*3 ---> q = 2
Mamy zatem
a1 = 8
a2 = a1*q = 8*2 = 16
a3 = a1*q² = 8*2² = 8*4 = 32
b1 = a1 + 3 = 8 +3 = 11
b2 = a2 + 2 = 16 + 2 = 18
b3 = a3 - 7 = 32 - 7 = 25
Sprawdzam czy b1,b2,b3 jest ciągiem arytmetycznym?
b2 - b1 = 18 - 11 = 7 oraz b3 - b2 = 25 - 18 = 7
Jest to ciąg arytmetyczny o b1 =11 oraz różnicy r = 7.
II.
Sprawdzam dla a1 = 7
1 +q +q² = 8 ---> q +q² = 8 - 1 = 7
q² + q - 7 = 0
Δ = 1² -4*(-7) = 1 + 28 = 29
q = [-1 -√29]/2 lub q = [-1 +√29]/2
Dla q = [-1 -√29]/2
a1 = 7
a2 = 7*[-1-√29]/2 = 3,5*[-1 -√29]
a3 =7*[-1 -√29]² / 4 = 7*[30 +2√29]/4 = 7*[15+√29]/2 =3,5*[15+√29]
b1= a1 + 3 = 10
b2 = a2 + 2 = 3,5*[-1 -√29] +2 = -1,5 -3,5√29
b3 = a3 - 7 = 3,5*[15+√29] - 7 = 52,5 - 7 +3,5√29 = 45,5 +3,5√29
b2 - b1 = -1,5 -3,5√29 -10 = -11,5 -3,5√29
b3 - b2 = 45,5 +3,5√29 +1,5 +3,5√29 = 47 + 7√29
Ten ciąg nie jest arytmetyczny.
Dla q = [-1+√29]/2
a1 = 7
a2 = 7*[-1 +√29]/2 = 3,5*[-1 +√29]
a3 = 7*[-1 +√29]² /4 = 7*[ 1 - 2√29 +29]/4 = 7*[30 -2√29]/4 =
= 3,5*[15 -√29]
b1 = a1 +3 = 10
b2 = a2 + 2 = -3,5 +3,5√29 +2 = -1,5 +3,5√29
b3 = a3 -7 = 52,5 -3,5√29 - 7 = 45,5 -3,5√29
b2 - b1 = -1,5 +3,5√29 -10 = -11,5 +3,5√29
b3 - b2 = 45,5 -3,5√29 +1,5 -3,5√29 = 47 - 7√29
Ten ciąg też nie jest arytmetyczny,
Odp.Te liczby to:8, 16, 32.


Zad. 3- nie potrafię, przepraszam.