Question

Mając dane punkty A(2,-1), B(6,7), C(2,4) oblicz obwód i pole trójkąta ABC oraz napisz równania:
a) środkowej boku BC,
b) symetralnej boku AB,
c) prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka A.

Answer 1

Dany trójkąt ABC o wierzchołkach w punktach: A = (2,-1), B = (6,7), C = (2,4)

 

Obwód ΔABC

O = a + b + c, gdzie a, b, c to długość boków ΔABC

 

Długość odcinka o końcach w punktach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂) wyraża się wzorem:

 

Zatem:

 

Stąd:

 

a) Równanie środkowej boku BC

Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku.

 

Wierzchołkiem przeciwległym do boku BC jest punkt A, zatem musimy znaleźć środek boku BC, czyli punkt D i napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty A i D.

 

Środek odcinka o końcach w punktach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂) ma współrzędne:

 

Zatem środek D boku BC ma współrzędne:

 

Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂):

 

Stąd równanie środkowej boku BC, czyli prostej AD to:

 

 

b) Równanie symetralnej boku AB

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek.

 

Zatem należy wyznaczyć współrzędne środka E boku AB i napisać równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej bok AB i przechodzącej przez punkt E.

 

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych określonych wzorami  y₁ = a₁x + b₁ i y₂ = a₂x + b₂ spełniają równanie:

 

Środek E boku AB ma współrzędne:

 

Prosta AB ma równanie:

 

Symetralna boku AB, czyli prosta y = ax + b jest prostopadła do prostej y = 2x - 5, zatem współczynniki kierunkowe tych prostych spełniają równanie:

 

 

więc symetralna boku AB ma postać:

 

i przechodzi przez punkt E = (4, 3), czyli współrzędne tego punktu spełniają to równanie, stąd:

 

Zatem równanie symetralnej boku AB to:

 

 

c) Równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka A

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok.

 

Przeciwległym bokiem do  wierzchołka A jest bok BC, zatem musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej bok BC i przechodzącej przez punkt A.

 

Prosta BC ma równanie:

 

Prosta zawierająca wysokość poprowadzoną z wierzchołka A, czyli prosta y = ax + b jest prostopadła do prostej y = ¾x + 2½, zatem współczynniki kierunkowe tych prostych spełniają równanie:

 

więc prosta zawierająca wysokość poprowadzoną z wierzchołka A ma postać:

 

i przechodzi przez punkt A = (2, - 1), czyli współrzędne tego punktu spełniają to równanie, stąd:

 

Zatem równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka A to:

 

 

Pole ΔABC

Trójkąt ABC jest to trójkąt równoramieny: |AB| = 4√5, |BC| = |AC| = 5

Zatem, jeśli a = |AB| = 4√5 to h = |CE|