Question

Obliczyć częstotliowość kołową drgań masy m=5kg zawieszonej na dwóch sprężynach, przy połączeniu ich:

a) "szeregowo"

b) "równolegle"

Współczynniki sprężystości pojedynczych sprężyn = 2*10 N/m, k = 6*10 N/m.

Answer 1

Witaj :)

dane: m=5kg,  k₁=2*10³N/m,  k₂=6*10³N/m

szukane: ωszer=ω₁,  ωrówn=ω₂

-------------------------------------------------

a) sprężyny połączone szeregowo:

---zgodnie z III ZDN obie sprężyny w stanie równowagi są rozciągane jednakowymi co do wartości i kierunku siłami - w tym przypadku o wartości F=mg,

---zgodnie z prawem Hooke'a i wzorem na siłę powodującą ruch harmoniczny F=-k*x

mamy po przejściu na wartości bezwzględne:

x₁ = F/k₁ = wydłużenie sprężyny I oraz x₂ = F/k₂ = wydłużenie sprężyny II,

---wydłużenie całkowite x jest równe sumie wydłużeń obu sprężyn:

x = x₁ + x₂ ....ale x = F/k', gdzie k = zastępczy współczynnik sprężystości

F/k' = F/k₁ + F/k₂.....|:F

1/k' = 1/k₁ + 1/k₂ = [k₁+k₂]/k₁k₂

k' = k₁k₂/[k₁+k₂] = [2*10³N/m*6*10³N/m]/8*10³N/m = 1,5*10³N/m = 1500N/m

ω₁ = 2π/T₁.........ale T₁ = 2π√[m/k']

ω₁ = 2π/[2π√(m/k') = √(k'/m)

ω₁ = √{k₁k₂/[m(k₁+k₂)} = √[(1500N/m)/5kg] = √(300s⁻²) = 10√3 s⁻¹ ≈ 17,32s⁻¹

Szukana częstość kołowa wahadła szeregowego wynosi 17,32s⁻¹.

 

b) sprężyny połączone równolegle:

---przy tym połączeniu wydłużenia obu sprężyn są jednakowe: x₁ = x₂ = x,

---w stanie równowagi siła F rozciągająca układ sprężyn jest równoważona przez sumę sił sprężystości F₁ i F₂ wzbudzonych w sprężynach:

F = F₁ + F₂

k"x = k₁x₁ + k₂x₂....|:x=x₁=x₂

k = k₁ + k₂ = 8*10³N/m

ω₂ = 2π/T₂ = 2π/[2π√(m/k")] = √(k"/m) = √[(k₁+k₂)/m] = √[(8000N/m)/5kg] = 40s⁻¹

Szukana częstość kołowa wahadła równoległego wynosi 40s⁻¹.

 

Semper in altum...................................pozdrawiam :)

 

Jeśli podoba Ci się to rozwiązanie, możesz uznać je za najlepsze- wówczas otrzymasz zwrot 15% punktów wydanych na to zadanie. W przypadku 1 rozwiązania możesz to zrobić po godzinie od jego dodania.

PS. W razie wątpliwości - pytaj :)