Una masa de 0.5 kg unida a un resorte de 8 N/m de constante vibra en un movimiento armonico simple con una amplitud de 10 cm. Calcule a) la velocidad y aceleración maximas. b) la velocidad y la aceleración cuando la masa esta a 6 cm de la posición de equilibrio, c) el tiempo que tarda la masa en moverse de x=0 a x=8
x = A cos(ω t + Ф)
A = 10 cm = 0,10 m
ω = √(k/m) = √(8 N/m / 0,5 kg) = 4 rad/s
Ф es la fase inicial. Supondremos nula por falta de datos para hallarla)
Para este caso es entonces: (omito las unidades)
x = 0,10 cos(4 t)
La velocidad es la derivada de la posición:
v = - 0,10 . 4 sen(4 t)
La aceleración es la derivada de la velocidad.
a = - 0,10 . 4² cos(4 t) = - 4² x = - 16 x
La velocidad máxima es 0,10 . 4 = 0,4 m/s
La aceleración máxima es 0,10 . 4²= 1,6 m/s²
Se puede demostrar que v = ω √(A² - x²)
b) v = 4 √(0,10² - 0,06²) = 0,32 m/s
a = - 16 . 0,06 = - 0,96 m/s²
c) Para x = 0 = 0,10 cos(4 t); implica cos(4 t) = 0, es decir 4 t = π / 2
t = π / 8 = 0,39 s
Para x = 8 cm = 0,08 m = 0,10 m cos(4 t)
cos (4 t) = 0,8; 4 t = 0,6435 (calculadora en radianes)
t = 0,6435 / 4 = 0,16 s
No puede ser menor que para x = 0; debemos sumar un período:
T = 2 π / ω = 2 π / 4 = π/2 = 1,57 s
Para x = 0,8; t = 0,16 + 1,57 = 1,73 s
Por lo tanto Δ t = 1,73 - 0,39 = 1,34 segundos
Saludos Herminio