Question

Dla jakich wartości parametru m równanie
sin^4 x + cos^4 x = (2m+1)/(m-1) ma rozwiązanie?

(te ^4 znaczy do czwartej :)

Answer 1

\sin2x= \frac{m-3}{m+2}
Ponieważ zbiorem wartości funkcji x\mapsto\sin 2x jest przedział [-1,1], to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy -1\leq\frac{m-3}{m+2}\leq 1. Stąd oczywiście m\neq -2 oraz -(m+2)^2\leq (m-3)(m+2)\leq(m+2)^2, czyli (m+2)(2m-1)\geq 0 oraz -5(m+2)\leq 0. Zatem m\geq\frac{1}{2}.

m\cos x=3m-2
Łatwo zauważamy, że dla m=0 równanie jest sprzeczne. Załóżmy, że m\neq 0. Mamy \cos x=3-\frac{2}{m}. Ponieważ zbiorem wartości funkcji x\mapsto\cos x jest przedział [1,1], to równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy -1\leq 3-\frac{2}{m}\leq 1, czyli -4\leq -\frac{2}{m}\leq -2. Stąd 1\leq\frac{1}{m}\leq 2. Ostatnia nierówność jest sprzeczna dla m<0, więc na pewno m>0. Wobec tego równoważnie mamy m\leq 1\leq 2m, skąd wynika, że m\leq 1 i m\geq\frac{1}{2}, tzn. m\in[\frac{1}{2},1].

Answer 2

Dla

m > 1

2m + 1 = 0
2m = -1 /:2
m = -0.5

m e (1, nieskończoności +) u {-0.5}