Question

liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. suma tych liczb jest równa 114. te same liczby w podanej kolejności, są pierwszym, czwartym i dwudziestym piątym wyrazem nieskończonego ciągu arytmetycznego. oblicz a, b c.

Answer 1

a = a1

b = a4 = a1 + 3r = a + 3r

c = a25 = a1 +24r = a + 24 r

zatem

a +b + c  = a + (a + 3r) + (a + 24 r) = 114

czyli

3a + 27 r = 114 / : 3

a + 9r = 38  => a = 38 - 9r

b = a = 3r = 38 - 9r + 3r = 38 - 6r

c = a + 24 r = 38 - 9r + 24 r = 38 + 15 r

Mamy

a = 38 - 9r

b = 38 - 6r

c = 38 + 15 r

Ponieważ te liczby tworzą ciąg geometryczny, zatem

b/a = c/b

b^2 = a*c

Po podstawieniu mamy

( 38 - 6r)^2 = (38 - 9r)*(38 + 15r)

1444 - 456 r + 36 r^2 = 1444 +570r - 342r - 135r^2

36 r^2 + 135 r^2 - 456 r -228r  = 0

171 r^2 - 684 r = 0 / : 171

r^2 - 4r = 0

r*( r - 4) = 0

zatem  r = 0   lub  r =  4

1) Dla r = 0   - ciąg arytmetyczny jest stały, wtedy

a = 38 -9*0 = 38

b = 38 - 6*0 = 38

c = 38 +15*0 = 38

Wtedy też ciąg geometryczny jest stały : q = 1

2) Dla  r = 4  mamy:

a = 38 -9*4 = 38 - 36 = 2

b = 38 - 6*4 = 38 - 24 = 14

c = 38 +15*4 = 38 + 60 = 98

 

Odp. a = 2,  b = 14, c = 98

==========================