Question

liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. suma tych liczb jest równa 114. te same liczby w podanej kolejności, są pierwszym, czwartym i dwudziestym piątym wyrazem nieskończonego ciągu arytmetycznego. oblicz a, b c.

Answer 1

a = a1

b = a4 = a1+3r = a + 3r

c = a25 = a1 + 24r = a + 24 r

zatem

a + b + c = a + (a +3r) + (a + 24r) = 114

3a + 27r = 114 / : 3

a + 9r = 38  => a = 38 - 9r

b = a + 3r = 38 - 9r + 3r = 38 - 6r

c = a + 24r = 38 - 9r +24r = 38 + 15r

Liczby a,b , c  tworzą ciąg geometryczny, więc

b/a = c/b  => b^2 = a*c

Po podstawieniu mamy

( 38 - 6r)^2 = (38  - 9r)*(38 +15r)

1444 - 456r +36 r^2 = 1444 +570r - 342r - 135 r^2

171 r^2  - 684r = 0 / : 171

r^2 - 4r = 0

r*(r - 4) = 0

r = 0   lub  r = 4

1) Dla r = 0   ciąg arytmetyczny jest stały.

Mamy wtedy

a = 38 -9*0 = 38

b = 38 -6*0 = 38

c = 38 +15*0 = 38

Ciąg geometryczny jest też stały: q = 1

2) Dla r = 4  mamy

a = 38 - 9*4 = 38 - 36 = 2

b = 38 - 6*4 = 38 - 24 = 14

c = 38 + 15*4 = 38 + 60 = 98

Iloraz  q = 14 : 2 = 98 : 14 = 7

 

Odp. a = 2,  b = 14, c = 98

=========================