Question

Liczby 3 pierwiastków z 2 i 6 są dwoma kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.Suma tych liczb jest mniejsza od sumy dwóch nastepnych wyrazów tego ciągu:
a) 2 razy
b) 3 razy
c)6 razy
d)8 razy
prosze o dokładne rozwiązanie ;)

Answer 1

An₋₁, an, an₊₁, an₊₂ - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
an₋₁ = 3√2
an = 6
Skorzystamy z własności: jeżeli liczby an₋₁, an, an₊₁ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to an² = an₋₁ * an₊₁

( an² = an₋₁ * an₊₁
( an₊₁² = an * an₊₂

( 6² = 3√2 * an₊₁
( an₊₁² = 6 * an₊₂

( 36 = 3√2 * an₊₁ /:3√2
( an₊₁² = 6 * an₊₂

( an₊₁ = 36 / 3√2
( an₊₁² = 6 * an₊₂

( an₊₁ = 12 / √2 = 12√2 / √2*√2 = 12√2 / 2 = 6√2
( (6√2)² = 6 * an₊₂

( an₊₁ = 6√2
( 36*2 = 6 * an₊₂

( an₊₁ = 6√2
( 72 = 6 * an₊₂ /:6

( an₊₁ = 6√2
( an₊₂ = 12

an₋₁ + an = 3√2 + 6 = 3*(√2 + 2)
an₊₁ + an₊₂ = 6√2 + 12 = 6*(√2 + 2)

(an₊₁ + an₊₂) : (an₋₁ + an) = 6*(√2 + 2) : 3*(√2 + 2) = 2

Odp. Suma dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest 2 razy mniejsza od sumy dwóch następnych wyrazów tego ciągu.