Question

Liczba jest liczbą niewymierną. Wykaż, że liczby

są liczbami niewymiernymi.

Proszę z pełnym wytłumaczeniem.

Answer 1

a)

zał.:

√11∈NW

teza:

(7√11+5)∈NW

dowód:

Zrobię to dowodem "nie wprost", czyli zaprzeczam wpierw tezę, a później znajduję sprzeczność.

Więc załóżmy, że:

(7√11+5)∈W

Wówczas:

7√11+5=p/q ,gdzie p∈C i q∈C i q≠0

7√11=p/q - 5

7√11=p/q - 5q/q

7√11=(p-5q)/q

√11=(p-5q)/7q

Ale (p-5q)∈C i 7q∈C, więc liczba (p-5q)/7q jest liczbą wymierną. Wymierna jest więc także liczba √11. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, stąd wniosek, że liczba 7√11+5 jest liczbą niewymierną.

b)

zał.:

√11∈NW

teza:

(-3√11+4)/2∈NW

dowód:

Dalej tym samym sposobem:

Niech:

(-3√11+4)/2∈W

Wówczas:

(-3√11+4)/2=p/q ,gdzie p∈C i q∈C i q≠0

-3√11+4=2p/q

-3√11=2p/q - 4

-3√11=2p/q - 4q/q

-3√11=(2p-4q)/q

√11=(2p-4q)/-3q

Ale (2p-4q)∈C i -3q∈C, więc liczba (2p-4q)/-3q jest liczbą wymierną. Wymierna jest więc także liczba √11, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem (-3√11+4)/2∈NW.

c)

zał.:

√11∈NW

teza:

(√11-1)/√11∈NW

dowód:

Załóżmy, że:

(√11-1)/√11∈W

Wtedy:

(√11-1)/√11=p/q  ,gdzie p∈C i q∈C i q≠0

1 - √11/11=p/q

-√11/11=p/q - 1

-√11/11=p/q - q/q

-√11/11=(p-q)/q

-√11=11(p-q)/q

√11=11(p-q)/-q

Ale 11(p-q)/-q∈W, gdyż 11(p-q) i -q to liczby całkowite, stąd także √11∈W, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem (√11-1)/√11∈NW.