La consistencia de un helado cambia cuando su temperatura sale de un cierto rango definido por la expresion: 2x^2+x+8≥(x-2)^2, donde x representa la temperatura en grados centigrados. Determine los rangos en los cuales la consistencia del helado cambia.
Por tanto, hay que resolver la inecuación para hallar los intervalos que satisfacen la condición:
Empieza por resolver el producto notable del miembro derecho:
2x^2+x+8 ≥ x^2 - 4x + 4
Elimina los miembroes de la derecha mediante restar x^2, sumar 4x y restar 4 a ambos miembreos:
2x^2 - x^2 + x + 4x + 8 - 4 ≥ 0
x^2 + 5x + 4 ≥ 0
Ahora factoriza:
(x + 4) (x + 1) ≥ 0
Las soluciones se hallan si los dos factores son mayores o iguales a cero y si los dos factores son menores o iguales a cero.
Caso 1: los dos factores menores o iguales que cero:
x + 4 ≤ 0 y x + 1 ≤ 0 => x ≤ -1 => (-∞, -4]
Caso 2: los dos factores mayores o iguales a cero
x + 4 ≥ 0 y x + 1 ≥ 0 => x ≥ - 1 => [-1,∞)
Y la solución completa es la unión de los dos intervalos:
(-∞, -4] U [-1, ∞)
Respuesta: la consistencia del helado cambia cuando la temperatura es mejor o igual a -4°C y cuando es mayor o igual que -1°C.