Question

Kwadrat o boku a obraca się dookoła osi równoległej do jednej z jego przekątnych i przechodzącej przez jego wierzchołek.Oblicz pole i objętość powstałej bryły obrotowej.

Answer 1

Jeżeli kwadrat obrócimy o 180°, otrzymamy bryłę obrotową, składającą się z dwóch identycznych stożków, "sklejonych" ze sobą podstawami.

Promieniem podstawy stożka będzie połowa przekątnej takowego kwadratu, natomiast tworzącą stożka stanowić będzie bok tego kwadratu.

Wysokością stożka będzie również połowa przekątnej kwadratu.

Bok kwadratu (tworząca stożka): a
Połowa przekątnej kwadratu (promień podstawy stożka): ½a√2
Objętość jednego stożka:
⅓PpH
= ⅓π(½a√2)² * ½a√2
= ⅓ * ¼π(a√2)² * ½a√2
= π(a√2)²/12 * ½a√2
= (π(a√2)² * a√2)/24
= (π2a² * a√2)/24
= (π2a³√2)/24
= (πa³√2)/12
Objętość otrzymanej bryły: 2 * (πa³√2)/12

V = 2 * (πa³√2)/12
V = (πa³√2)/6

Wzór na pole stożka: P = πr² + πrl (l - tworząca stożka)
P = π(½a√2)² + π * ½a√2 * a
P = π(¼a² * 2) + π * ½a√2 * a
P = π(¼a² * 2) + π½a²√2
P = π½a² + π½a²√2
P = π½a²(1+√2)