WIELOMIANY
Zad.1 Dla jakich parametrów a, b reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) jest równa R(x), gdy:
W(x)= x^3 + 4x^2 + ax + b
P(x)= x^2 + 3x + 2
R(x)= -10x - 1
^ potęga do danej liczby
Zad.2 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x^3 - 1 jest trójmianem kwadratowym R(x) = 2x^2 - 2x - 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian (x-1).
Zad.3 Dla jakich wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu
W(x)= x^4 - 2x^3 - 1/4ax^2 + a^2x +1
przez dwumian (x-2) jest mniejsza od 4?
/ kreska ułamkowa
Proszę o podanie wszystkich obliczeń. Odpowiedzi typu nie wiem i za trudne będą od razu zgłaszane. Proszę o wykonanie wszystkich zadań. Jeśli wszystko będzie dobrze na pewno dam "najlepszą odpowiedź". Z góry dzięki.
Zad. 1
W(x)= x³ + 4x² + ax + b
P(x)= x² + 3x + 2
R(x)= -10x - 1
Dzieląc wielomian W(x) przez P(x) to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że:
W(x) = Q(x) · P(x) + R(x), gdzie Q(x) to wynik dzielenia, a R(x) to reszta z dzielenia.
Zatem:
x³ + 4x² + ax + b = Q(x) · (x² + 3x + 2) + (-10x - 1)
Szukamy miejsc zerowych wielomianu P(x), bo wtedy iloczyn Q(x) · P(x) będzie równy zero:
x² + 3x + 2 = 0
Δ = 3² - 4·1·2 = 9 - 8 = 1; √Δ = 1
x₁ = (-3 - 1) / (2·1) = -4 / 2 = - 2
x₂ = (-3 + 1) / (2·1) = - 2 / 2 = - 1
W równaniu:
x³ + 4x² + ax + b = Q(x) · (x² + 3x + 2) + (-10x - 1)
podstawiamy za x = - 2 i otrzymujemy:
(-2)³ + 4·(-2)² + a·(-2) + b = Q(-2) · [(-2)² + 3·(-2) + 2] + [-10·(-2) - 1]
-8 + 16 - 2a + b = Q(-2) · (4 - 6 + 2) + (20 - 1)
- 2a + b + 8 = Q(-2) · 0 + 19
- 2a + b = 19 - 8
- 2a + b = 11
W równaniu:
x³ + 4x² + ax + b = Q(x) · (x² + 3x + 2) + (-10x - 1)
podstawiamy za x = - 1 i otrzymujemy:
(-1)³ + 4·(-1)² + a·(-1) + b = Q(-1) · [(-1)² + 3·(-1) + 2] + [-10·(-1) - 1]
- 1 + 4 - a + b = Q(-1) · (1 - 3 + 2) + (10 - 1)
- a + b + 3 = Q(-1) · 0 + 9
- a + b = 9 - 3
- a + b = 6
Zatem otrzymujemy układ równań:
____________________
Zad. 2
Z treści zadania:
W(x) = Q₁(x) · (x³ - 1) + (2x² - 2x - 1)
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) jest równa zero albo stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x).
Zatem jeśli wielomian (x - 1) jest pierwszego stopnia, to reszta z dzielenia będzie stopnia zerowego (wielomianem stały), czyli szukana reszta możemy oznaczyć przez r.
Stąd:
W(x) = Q₂(x) · (x - 1) + r
W(x) = Q₁(x) · (x³ - 1) + (2x² - 2x - 1) i W(x) = Q₂(x) · (x - 1) + r
Zatem:
Q₁(x) · (x³ - 1) + (2x² - 2x - 1) = Q₂(x) · (x - 1) + r
Wstawiamy w tej równości za x = 1 (miejsce zerowe wielomianu x³ - 1)
------------------------------
x³ - 1 = x³ - 1³ = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
x - 1 = 0 ∨ x² + x + 1 = 0
x - 1 = 0
x = 1
x² + x + 1 = 0
Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = - 3, Δ < 0, czyli nie ma miejsc zerowych
------------------------------
i otrzymujemy:
Q₁(1) · (1³ - 1) + (2·1² - 2·1 - 1) = Q₂(1) · (1 - 1) + r
Q₁(1) · (1 - 1) + (2 - 2 - 1) = Q₂(1) · 0 + r
Q₁(1) · 0 + (- 1) = 0 + r
r = - 1
Zad. 3
W(x) = Q(x) · (x - 2) + R(x)
Skorzystamy z tw. o reszcie:
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a), czyli wartości wielomianu W(x) dla liczby a.
Jeśli reszta z dzielenia W(x) przez (x - 2) ma być mniejsza od 4, to musismy rozwiązać nierówność W(2) < 4 (tw. o reszcie).
Wstawiając w miejsce zmiennej liczbę 2 otrzymujemy:
Zatem:
Zaznaczamy miejsca zerowe - 1 i 1½ na osi i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 2 > 0 i z wykresu odczytujemy rozwiązanie: