Witam.WIELOMIANY Potrzebne mi jest to jak naszybciej. Porszę o zrobienie wszystkich obliczeń. Jeśli wszytko będzie dobrze, to oczywiście dam najlepszą odpowiedź.
Zad.1 Sprawdź, czy liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Jeśli tak, określ krotność tego pierwiastka:
a) W(x)= 6x^3 + 3x^2 + 10x + 5, r= -1/2
b) W(x)= x^5 + 4x^4 + 4x^3 - 6x^2 - 24x - 24,, r= -2
Zad.2 Dla jakich wartości parametrów a, b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli:
W(x)= x^4 - 2x^3 + 6x^2 + ax + b, r=1
Zad.3 Liczby r1 i r2 są pierwiastkami wielomianu W(x). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu, jeśli:
W(x)= x^3 + ax^2 - bx = 6, r1=1, r2=2
^ potęga
/ kreska ułamkowa
Zad 1
- By liczba r była pierwiastkiem wilomianu musi spełniać równanie: W(r)=0
- By określić krotność należy przedstawić wielomian W(x) w postaci "czynników liniowych" lub należy podzielić wielomian W(x) przez dwumian (x-r)- jeżeli wynik wyjdzie bez reszty to wykonać ponownie tę samą czynność. Tyle razy ile wilomian W(x) będzie podzielny przez dwumian (x-r) bez reszty taka będzie krotność.
a)
1. sprawdzenie czy r=-1/2 jest pierwiastkiem
W(-1/2)=0
W(-1/2)=6*(-1/2)³+3*(-1/2)²+10*(-1/2)+5
W(-1/2)=6*(-1/8)+3*1/4-5+5
W(-1/2)=-3/4+3/4
W(-1/2)=0
r=-1/2 jest pierwiastkiem zadanego wielomianu.
2. Sprawdzenie krotności pierwaistak r=-1/2
0=6x³+3x²+10x+5
0=3x²(2x+1)+5(2x+1)
0=(3x²+5)(2x+1)
3x²+5=0 - Δ<0, czyli wyrażenie to nie ma pierwiastków
2x+1=0 => x=-1/2 (krotność tego pierwiastka to 1)
b)
1. Sprawdzenie czy r=-2 jest pierwiastkiem
W(-2)=0 W(-2)=(-2)⁵+4*(-2)⁴+4*(-2)³-6*(-2)²-24*(-2)-24
W(-2)=-32+64-32-24+48-24
W(-2)=0
r=-2 jest pierwiastkiem wilomianu W(x)
2. Sprawdzenie krotności pierwaistak r=-2
0=x⁵+4x⁴+4x³-6x²-24x-24
0=x³(x²+4x+4)-6(x²+4x+4)
0=(x³-6)(x²+4x+4)
0=(x-∛6)(x²-x∛6+∛6²)(x+2)(x+2)
x-∛6=0 => x=∛6
x²-x∛6+∛6² => Δ<0, czyli nie ma pierwiastka
x+2=0 => x=-2
x+2=0 => x=-2
Krotność pierwiastka r=-2 to 2.
zad 2
Należy rozwiązać układ równań:
(pierwsze równanie:)
0=1-2+6+a+b
0=5+a+b
(drugie równanie:)
Powstaje z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1):
(x⁴-2x³+6x²+ax+b):(x-1)=x³-x²+5x+(5+a)
-x⁴+x³
-------
-x³+6x²
x³-x²
--------
5x²+ax
-5x²+5x
----------
(5+a)x+b
-(5+a)x+(5+a)
------------------
5+a+b (-jak widać to pierwsze równanie, reszta z dzielenia)
W(x)=P(x)*(x-1)
W(x)=(x³-x²+5x+(5+a))*(x-1)
By r=1 było podwójnym pierwiastkiem zadanego wielomianu musi być P(x)=0, tzn
0=1-1+5+5+a - a to drugie równanie
Czyli powstaje układ równań:
{a=-10
{b=-5-a
{a=-10
{b=5
Wielomian przyjmuje postać: W(x)=x⁴-2x³+6x²-10x+5
zad 3
W(x)= x³+ax²-bx+6
1. a i b obliczam rozwiązując układ równań:
{W(r₁)=0
{W(r₂)=0
{0=1+a-b+6
{0=8+4a-2b+6
{b=a+7
{0=14+4a-2a-14
{b=a+7
{a=0
{b=7
Wielomian przyjmuje postać: W(x)=x³-7x+6
2. Szukanie 3- go pierwiastka:
-należy podzielić wielomian przez dwumian x-1, następnie wynik znowu podzielić przez dwumian x-2
(x³-7x+6):(x-1)=x²+x-6
-x³+x²
-------
x²-7x
-x²+x
--------
-6x+6
6x-6
---------
0
(x²+x-6):(x-2)=x+3
-x²+2x
--------
3x-6
-3x+6
--------
0
Czyli wielomian W(x) można zapisać jako iloczyn dwumianów:
x³-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)
Stąd trzeci pierwiastek x₃=-3