Question

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 8 cm. Kąt między wysokością ostrosłupa a ścianą boczną ma miarę 30 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły. Help.!

Answer 1

podstawą jest trójkąt  równoboczny .  jego wysokość I AD I ( zielona linia na obrazku )  to :

 

IADI =h =  (a/2)√3 , nasze a = 8 ,  h= 4√3

 

wysokość ostrosłupa prawidłowego H:  oparta jest na przecięciu się  wysokości podstawy

 

 stąd  zielony odcinek  trójkąta   niebiesko czerwono zielonego:   IODI  = (1/3) h = (4/3)√3

 

znamy kąty w tym trójkącie  Δ ODW  (niebiesko czerwono zielonego)   z zależności trygonometrycznych  bądź ze znajomości zależności  między długościami boków w trójkątach o kątach 30, 60 90  wiemy że  wysokość ostrosłupa : H  ( czerwony odcinek )  jest  √3 razy dłuższa  od  ΙΟDI   czyli  Η= IOWI = √3 · IODI = √3·(4/3)√3 = (4/3) ·3 = 4

 

mamy wszystko :)

 

objętość ostrosłupa:  V=  (1/3) Pp · Η = (1/3) (1/2) a ·h · Η  = (1/6) · 8 · 4√3· 4 = (64/3) √3

słownie:  sześciesiąt cztery trzecie pierwiastków z trzech , lub jak kto woli   21 i jedna trzecia pierwiastków z trezch [cm³]

 

pole powierzchni bocznej  to suma powierzchni wszystlich boków

 

wysokość ściany bocznej  to   z zależności trygonometrycznych  bądź ze znajomości zależności  między długościami boków w trójkątach o kątach 30, 60,  90   dwa razy dłuższy odcinek  od  IODI  czyli   2 · (4/3)√3 = (8/3)√3

 

pole jednego  trójkąta   ściany bocznej  to  (1/2) ·8 · (8/3)√3 = (64 / 6 ) √3 = (32 / 3 ) √3

 

takich trójkątów mamy  trzy :)  więc Pb = 3·(32 / 3 ) √3 = 32√3 [cm²]

 

Pole podstawy: Pp=   (1/2) · 8 · 4√3 = 16√3 [cm²]

 

całkowite pole powierzchni  Pc = Pb+Pp = 32√3+16√3 = 48√3 [cm²]