Question

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm. Oblicz jego objętość, jeżeli:
a) przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 45 stopni,
b) kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy ma 60 stopni,
c) przekątna graniastosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 stopni.

Answer 1

Zacznijmy od tego że graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie KWADRAT. W zadaniu mamy że krawędź podstawy wynosi 4cm. Zatem pole podstawy:
Pp=4x4=16cm²
Do obliczenia objętość brakuje nam tylko wysokości graniastosłupa.
a)
Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią boczną kąt 45*, a to znaczy że ściana boczna składa się z 2 trójkątów równoramiennych prostokątnych... Czyli jest kwadratem o boku 4cm(jedna z krawędzi to krawędź podstawy). Zatem objętość = pole podstawy razy wysokość (4cm):
V=16cm² × 4cm =64cm³
b)Teraz mamy dane że przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy (4cm)kąt 60*. Z funkcji trygonometrycznych wiemy że tg α = h/a (h-nasza wysokość, a-krawędź podstawy)
to :
tg 60*=√3 = h/4
h=4√3 Objętość takiego graniastosłupa wynosi:
V=16cm²×4√3cm =64√3cm³
c)
W tym przypadku również potrzebujemy wysokości graniastosłupa. Teraz mamy dane że przekątna graniastosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30*....To znaczy że tworzy z przekątną podstawy oraz wysokością graniastosłupa Trójkąt prostokątny o jednym z kątów ostrych 30*Obliczmy więc miarę przekątnej podstawy z wzoru na przekątną w kwadracie
d=a√2
d=4√2
Korzystamy z tangensa 30* aby obliczyć wysokość:
tg30*=h/d
tg30*=√3/3
h/4√2=√3/3
3h=4√6
h=4√6/3
V=16cm²×4√6/3cm=64√6/3cm³
Proszę :)