Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: a) b).... Question from @Gocha123

December 2018 1 65 Report

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
a) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+(-1)^n}{3n+2}$
b) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{3^n+2^n}{5^n+4^n} }$

Paawełek Zauważ, że w punkcie a) ciąg przyjmuje wartość najmniejszą dla liczb nieparzystych i wynosi ona $\frac{2n-1}{3n+2}$ i wartość największą dla n parzystych. Ta wynosi $\frac{2n+1}{3n+2}$ . Stąd układam logiczną nierówność:
$\frac{2n-1}{3n+2} \le \frac{2n+(-1)^n}{3n+2} \le \frac{2n+1}{3n+2} \\ \hbox{Licze granice na krancach:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n-1}{3n+2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}= \frac{2}{3} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n+1}{3n+2}= \frac{2}{3} \\ \hbox{Stad na mocy tw. o 3 ciagach:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n+(-1)^n}{3n+2}=\frac{2}{3}$

W b) otrzymamy dwie logiczne nierówności:
$3^n \le 3^n + 2^n \le 3^n + 3^n \qquad \hbox{i} \qquad 5^n \le 5^n + 4^n \le 5^n + 5^n \\ \hbox{Nakladam pierwiastek n-stopnia:} \\ \sqrt[n]{3^n} \le \sqrt[n]{3^n+2^n} \le \sqrt[n]{2 \cdot 3^n} \qquad \sqrt[n]{5^n} \le \sqrt[n]{5^n+4^n} \le \sqrt[n]{2 \cdot 5^n} \\ \hbox{Skad mamy:} \\ \frac{\sqrt[n]{3^n}}{\sqrt[n]{5^n}} \le \frac{\sqrt[n]{3^n+2^n}}{\sqrt[n]{5^n+4^n}} \le \frac{\sqrt[n]{2 \cdot 3^n}}{\sqrt[n]{2 \cdot 5^n}} \\ \hbox{Czyli:} \\$
$\sqrt[n]{(\frac{3}{5})^n} \le \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}} \le \sqrt[n]{2 \cdot (\frac{3}{5})^n} \\ \hbox{Nie trzeba byc geniuszem, zeby od razu zauwazyc ze granice na } \\ \hbox{krancach nierownosci wynosza} \ \frac{3}{5} \ \hbox{skad na mocy tw. o 3 ciagach:}\\ \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}}=\frac{3}{5}$

1 votes Thanks 1