Question

Korzystając z poznanych tożsamości trygonometrycznych , oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α , gdy tg α = 2 . Proszę o wyliczenie i w miarę możliwości wytłumaczenie . Dziękuję.

Answer 1

tgα=2

 

ctgα obliczamy, z wykorzystaniem własności jedynki trygonometrycznej dla tgα i ctgα:

tgα*ctgα=1

2*ctgα=1

ctgα=

 

sinα i cosα obliczamy za pomocą układu równań, z wykorzystaniem własności jedynki trygonometrycznej dla sinα i cosα oraz własności, że tgα=sinα/cosα:

{sin²α+cos²α=1

{tgα=2

 

{sin²α+cos²α=1

{=2

 

{sin²α+cos²α=1

{sinα=2cosα

 

{(2cosα)²+cos²α=1

{sinα=2cosα

 

{4cos²α+cos²α=1

{sinα=2cosα

 

{5cos²α=1

{sinα=2cosα

 

 

{cos²α=

{sinα=2cosα

 

 

{cosα=

{sinα=2cosα

 

 

{cosα=

{sinα=

 

Usuwamy niewymierność z mianownika:

{cosα=

{sinα=

 

 

Answer 2

tgx = sinx/cosx

 

sinx/ cosx = 2 ---> sinx = 2cosx

sinx*sinx + cosx*cosx = 1 - z jedynki trygonometrycznej

 

(2cosx)^2 + (cosx)^2 = 1

5 * (cosx)^2 = 1

(cosx)^2 = 1/5  ---> cosx = pierw. z 5 przez 5, bo cosx>0, skoro kąt jest ostry

A więc (sinx)^2 = 1 - (cosx)^2 = 1 - 1/5 = 4/5 ---> sinx = 2 pierw. z 5 przez 5, bo sinx>0, skoro kąt jest ostry

tgx = 2 ---> ctgx = 1/tgx = 1/2

Odp.: sinx = (2 pierw. z 5)/5, cosx = (pierw. z 5)/5, tgx = 2, ctgx= 1/2