Question

Kompletnie nie wiem jak to zrobić, więc prosiłabym też o wyjaśnienie. Daje 20 pkt.

W trapezie ABCD punkty K,L są odpowiednio środkami ramion AD i BC. Odcinek KL przecina przekątną AC w punkcie M oraz przekątną DB w punkcie N. Wykaż, że:

a. AM=MC oraz DN=NB

b. MN= (AB - DC): 2

Answer 1

Pomoże Ci tu tw Talesa, skorzystaj z ramion DA i AC

KL||DC, Z ZAŁOŻEŃ ZADANIA WIEMY, ŻE AK=KD

AK/KD=AM/MC{ KRESKA/ TO KRESKA UŁAMKOWA, WYMNAŻAMY NA KRZYŻ}

AK×MC=AM×KD wiedząc,że AK=KD, otrzymujesz

KD×MC=AM×KD / :KD {dzielimy obustronnie przez KD}

AM=MC co należało dowieść, przyda to się w następnym równaniu.

 

Teraz skorzystaj z ramion  AC, DB, poprzeczek AB, MN, DC, punkt przecięcia ramion AC i DB nazwałam S. W ten sposób na ramieniu AC są odcinki AM, MS, SC, a na linii DB odcinki BN, NS, SD. Tworzymy dwie zależności:

1) AB/MN=AS/MS, mnożymy na krzyż AB×MS=MN×AS /:MS{DZIELIMY STRONAMI}

AB=MN×AS/MS

2) DC/MN=CS/SM, TU BAWIMY SIĘ TAK SAMO JAK WYŻEJ

DC×SM=MN×CS /:SM

DC=MN×CS/SM

Teraz wyliczymy AB-DC PODSTAWIAJĄC TO CO NAM WYSZŁO Z POWYŻSZYCH RÓWNAŃ

AB-DC=AS×MN/MS-CS×MN/MS(mamy wspólny mianownik, teraz o co ma być w liczniku będę zapisywała w nawiasie kwadratowy)

AB - DC = [AS×MN-CS×MN]/MS = [MN(AS-CS)]/MS=

{teraz trzeba wykorzystać, że AS=AM+MS i MC=MS+CS, a z tego mamy CS=MC-MS, wstawimy to do równania}

=[MN(AM+MS-MC+MS)]/MS= {tu minus przed CS zmieił znak przed MS, ale ważniejsze jest to,że wykorzystamy równanie z pierwszego zad. AM=MC}

=[MN(MC+MS-MC+MS)]/MS=[MN(MS+MS)]/MS=[MN×2MS]/MS={zapis z prawdziwą kreską ułankową pokaże, że teraz możemy skrócić MS!}

=MN×2. zobacz jak to teraz wygląda z początkiem:

AB-DC=MN×2 /:2 I JEST MN=(AB-DC):2 :-)