Question

Kelas : XI
mapel : matematika
kategori : induksi matematika

pertanyaan :

1) buktikan bahwa n^3 + 5n dapat dibagi dg 6 untuk semua n elemen N

2) buktikan bahwa 5^(2n) - 1 dapat dibagi dengan 8 untuk semua n elemen N

3) buktikan bahwa 5^n - 4n - 1 dapat dibagi dengan 16 untuk semua n elemen N

selamat belajar

Answer 1

Verified answer

Materi Induksi Matematika

Jawaban Nomor 1
Basis Induksi: P(n): n^3 + 5n habis dibagi 6.
Untuk n = 1, 1+5 = 6 habis dibagi 6 adalah pernyataan yg benar.
Langkah Induksi: Misal P(k): k^3 + 5k habis dibagi 6 adalah pernyataan yg benar, maka harus ditunjukkan bahwa P(k+1): (k+1)^3 + 5(k+1) juga habis dibagi 6.
(k+1)^3 + 5(k+1) = (k^3 + 5k) + 3(k^2+k+1)
Perhatikanlah bahwa k^3 + 5k habis dibagi 6 sedangkan k^2+k+1 merupakan bilangan genap dan bila dikalikan 3, hasilnya dapat dibagi 6. Berarti, benar bahwa (k+1)^3 + 5(k+1) habis dbagi 6. Terbukti bahwa pernyataan n BENAR.

Jawaban Nomor 2
Basis Induksi: Misal P(n): 5^2n - 1 habis dibagi 8. Untuk n = 1, 25 - 1 = 24 habis dibagi 8 merupakan pernyataan yg benar.
Langkah Induksi: Misal P(k): 5^2k-1 habis dibagi 8 adalah pernyataan yg benar, maka harus ditunjukkan P(k+1): 5^(2k+2) - 1 juga hbs dibagi 8.
5^(2k+2) - 1 = 5^2k.25 - 1 = (5^2k - 1)(25) + 24
Kedua suku tersebut habis dibagi 8 sehingga benar bahwa P(k+1) juga habis dibagi 8. Dgn demikian, P(n) terbukti benar.

Jawaban Nomor 3
Basis Induksi: Misal P(n): 5^n - 4n - 1 habis dibagi 16. Untuk n = 1, 0 habis dibagi 16 adalah pernyataan yg benar.
Langkah Induksi: Misal P(k): 5^k - 4k - 1 habis dibagi 16 adalah pernyataan yg benar, maka harus ditunjukkan P(k+1): 5^(k+1)-4(k+1)-1 juga habis dibagi 16.
Ekspresi terakhir dpt ditulis menjadi
5^k. 5 - 4k - 5 = (5^k-4k-1)(5) + 16k
Kedua suku itu habis dibagi 16, mengimplikasikan bahwa P(k+1) benar. Akibatnya, P(n) terbukti benar.