Question

Kartka papieru ma kształt trójkąta równoramiennego prostokątnego o wierzchołkach A, B, C, przy czym punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego. Kartkę tę zgięto wzdłuż wysokości BD (D spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka B) w ten sposób, że płaszczyzny ABD i CBD utworzyły kąt dwuścienny prosty. Wykaż, że wówczas odcinki AD i DC są prostopadłe oraz miara kąta ABC jest równa 60o.

Answer 1

Co do pierwsze czyli żeby to wykazać to wydaje mi się trochę dziwne bo możesz to udowodnić po prostu zginając w określony sposób kartkę jak w opisie i ci wyjdzie (dowód fizyczny). Równie dobrze można powiedzieć, że jeśli te płaszczyzny tworzą kąt dwuścienny prosty, a dodatkowo skoro odcinek BD jest wysokością to kąt między CD a BD wynosi 90 stopni, podobnie dla AC, kąt między BD a AD wynosi też 90 stopni. Stąd jeśli odcinek AD jest prostopadły do BD oraz odcinek CD jest prostopadły do odcinka BD mamy że są one do siebie również prostopadłe. Inne wytłumaczenie nie wchodzi mi do głowy. Jeśli długość ramion tego trójkąta prostokątnego czyli BC i AB oznaczyć przez x, to odcinek AC ma długość √2x (z tw.Pitagorasa). Zatem skoro jest to trójkąt równoramienny to wysokość BD dzieli odcinek AC na połowy zatem |AD|=|CD|=[(√2)/2]x. Wtedy z tego, że trójkąt ADC (ten już w przestrzeni) jest prostokątny możemy obliczyć w nim długość AC (tej łączącej w przestrzeni punkty A i C). Z tw.Pitagorasa mamy: y²=([(√2)/2]x)²+([(√2)/2]x)², czyli y²=2*(2/4)x²=x². Teraz po pierwiastkowaniu mamy, że y=±x, wiemy że długości odcinków są liczbami większymi od zera a więc jedyną opcją jest że y=x. Zatem trójkąt (ten w przestrzeni) ABC ma boki długości x,x,x więc jest trójkątem równobocznym a w trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają po 60 stopni więc kąt ABC ma 60 stopni.