Question

1. Trójkąt ABC ma boki długości |AB|=10, |AC|=17 i |BC|=21. Przez punkt A poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny trójkąta ABC i obrano na niej punkt M tak, że |AM|=15. Oblicz odległość punktu M od boku BC.

2.W prostopadłościanie dane są długości krawędzi a, b, c. Oblicz odległość wierzchołka prostopadłościanu od przekątnej tego prostopadłościanu.

3.W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna podstawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze α.
Wyznacz objętość graniastosłupa.

Answer 1

Zad.1. Jeśliby dobrze narysować sytuację z zadaniu to okazuje się że trójkąt o który nam chodzi jest prostokątny. Jest to trójkąt łączący punkty A z M i punktem na boku BC, a dokładniej z punktem na boku BC który jest na przecięciu boku BC i wysokości trójkąta ABC z wierzchołka A. Oznaczmy ten punkt przez P. Trójkąt AMP jest prostokątny i mamy w nim przyprostokątna AM ma 15, przyprostokątna AP jest wysokością trójkąta ABC, a przeciwprostokątna MP jest tym czego szukamy a więc odległością punktu M od boku BC. Najpierw wyliczmy wysokość AP. Liczymy pole trójkąta ABC z wzoru Herona (znamy wszystkie długości boków), wtedy pomocnicza p=(a+b+c)/2=(17+10+21)/2=48/2=24. Wstawiamy do wzoru:
P=√[24(24-10)(24-17)(24-21)]=√(24*14*7*3)=√7056=84.
Teraz liczymy pole ze wzoru P=(1/2)*a*h gdzie a=|BC|=21, h=|AP|.
84=(1/2)*21*|AP| /*2
168=21*|AP| /:21
|AP|=8.
I teraz korzystamy z zależności z tw Pitagorasa:
8²+15²=|MP|²
|MP|²=64+225=289
|MP|=√289=17.
Odp.Odległość punktu M od boku BC wynosi 17 cm.

Zad.2. Najpierw liczymy długość przekątnej prostopadłościanu. Oznaczam: a-długość, b-szerokość, c-wysokość prostopadłościanu.Żeby znaleźć długość przekątnej korzystam z trójkąta prostokątnego, którego jedną przeciwprostokątną jest wysokość c, drugą jest przekątna podstawy , oznaczę ja przez k (czyli prostokąta o wymiarach axb). Najpierw liczę k:
a²+b²=k²
k=√[a²+b²]
Teraz liczę długość przekątnej prostopadłościanu powiedzmy że nazwę ją p:
k²+c²=p²
a²+b²+c²=p²
p=√[a²+b²+c²]
Szukana odległość (oznaczmy ją g) jest tak naprawdę wysokością w trójkącie prostokątnym w którym przyprostokątne to a i przekątna ściany bxc, i przeciwprostokątnej długości przekątnej prostopadłościanu. Liczę najpierw długość przekątnej ściany o wymiarach bxc. Oczywiście z tw Pitagorasa. Powiedzmy, że nazwę ją r.
b²+c²=r²
r=√[b²+c²]
Liczę pole trójkąta prostokątnego na dwa sposoby.
P=(1/2)*a*r=(1/2)*a*√[b²+c²]
P=(1/2)*g*p=(1/2)*g*√[a²+b²+c²].
Przyrównuję je do siebie:
(1/2)*a*√[b²+c²]=(1/2)*g*√[a²+b²+c²] , podnoszę obustronnie do kwadratu i mam (1/4)*a²*(b²+c²)=(1/4)*g²*(a²+b²+c²)
Mnożę obustronnie przez 4 i mam
a²*(b²+c²)=g²*(a²+b²+c²)
Teraz dzielę obustronnie przez (a²+b²+c²)
i mam, że
g²=[a²*(b²+c²)]:[a²+b²+c²] Teraz zostaje tylko spierwiastkować
g=√{[a²*(b²+c²)]:[a²+b²+c²]}.
Trochę tych obliczeń jest, mam nadzieję że połapiesz się jak to zrobiłam niestety z geometrii analitycznej zadania najlepiej wychodzą z rysunkiem, będziesz musiała trochę pokombinować :)

Zad.3. Najpierw należy obliczyć pole podstawy. Tu w podstawie jest sześciokąt foremny a więc możemy jego podzielić na sześć trójkątów równobocznych. Jeśli najdłuższa przekątna podstawy ma długość d, to połowa d czyli d/2 jest długością boku trójkąta równobocznego jednego z podstawy. Liczymy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego p=[(d/2)²√3]/4=(d²√3)/16. Takich trójkątów w podstawie mamy 6 więc pole podstawy = 6*(d²√3)/16=[3d²√3]/8. Teraz zostaje wysokość graniastosłupa. Powiem szczerze że mam problem z jej obliczeniem. Mam nadzieję że ułatwiłam rozwiązanie :)