Jak obliczyć taką Macierz gdzie jest 2x lub 3x? Liczby są losowe, mozna podlozyc wlasne cyfry.... Question from @DaWid024

DaWid024 @DaWid024

March 2022 1 5 Report

Jak obliczyć taką Macierz gdzie jest 2x lub 3x? Liczby są losowe, mozna podlozyc wlasne cyfry.

Louie314

Odpowiedź:

$X=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} &\frac{9}{16} \\1&-\frac{5}{8} \end{array}\right]$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Równanie:

$\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right] ^{T} \cdot 2X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right]$

Przekształcamy do macierzy $X$ . Odpowiadając na pytanie - stałą przy macierzy $X$ możemy zapisać jako $2I$ tj. :

$\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right] ^{T} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right] \cdot X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right]$

Najpierw transpozycja:

$\left[\begin{array}{ccc}2&0\\1&2\end{array}\right] ^{T}=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&2\end{array}\right]$

Mnożenie:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right]$

Zatem:

$\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right] \cdot X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right]$

$X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right]^{-1} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right]$

Skorzystamy ze wzoru:

Jeżeli $A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ i $ad-bc\neq 0$ , to:

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \cdot \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]$

Mamy:

$\left[\begin{array}{ccc}4&2\\0&4\end{array}\right]^{-1} =\frac{1}{16} \left[\begin{array}{ccc}4&-2\\0&4\end{array}\right]$

Wstawiamy:

$X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]=\frac{1}{16} \left[\begin{array}{ccc}4&-2\\0&4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&0\\3&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{8} &-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} &1\end{array}\right]$

Dalej mamy:

$X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{8} &-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} &1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]^{-1}$

Ponownie korzystamy ze wzoru podanego wyżej:

$$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&0\end{array}\right]^{-1}=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\-2&2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&-2\end{array}\right]$

Ostatecznie:

$$X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{8} &-\frac{1}{2} \\\frac{3}{4} &1\end{array}\right] \cdot \frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} &\frac{9}{16} \\1&-\frac{5}{8} \end{array}\right]$