Question

Jak narysować styczną do okręgu przy pomocy cyrkla? Proszę o dokładne wyjaśnienie.

Answer 1

Dany jest okrąg o środku O. Styczną do danego okręgu nazywamy prostą, która ma z tym okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Punkt ten nazywamy punktem styczności okręgu z prostą.

Podstawową własność stycznej do okręgu opisuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1:

Dany jest okrąg o środku O oraz punkt P leżący na tym okręgu. Wówczas prosta przechodząca przez punkt P i styczna do danego okręgu jest prostopadła do prostej OP. Również odwrotnie: prosta przechodząca przez punkt P i prostopadła do prostej OP jest styczna do danego okręgu.

 

Dlaczego tak jest?
Narysujmy okrąg, a w nim dowolną cięciwę AB niebędącą średnicą. Narysujmy również prostą l przechodzącą przez środek okręgu i prostopadłą do odcinka AB. Połówki okręgu są symetryczne względem prostej l. Wobec tego punkty A i B także są symetryczne względem prostej l, ponieważ leżą na prostej prostopadłej do niej oraz na okręgu. Czyli punkt przecięcia prostej l z odcinkiem AB jest środkiem tego odcinka.

 

Wybierzmy punkt P na okręgu i narysujmy odcinek OP. Narysujmy cięciwę AB przecinającą odcinek OP w punkcie różnym od O i P, prostopadłą do niego. Okrąg oraz cięciwa AB są symetryczne względem prostej zawierającej odcinek OP. Jeśli przesuniemy odcinek AB wzdłuż tej prostej, to symetria pozostanie zachowana.

Przesuńmy więc odcinek AB tak, żeby przechodził przez punkt P. Popatrzmy na prostą k zawierającą ten przesunięty odcinek. Zastanówmy się, czy prosta k może przecinać okrąg w jakimś punkcie innym niż P. Gdyby istniał taki punkt przecięcia Q, to istniałby również punkt Q', symetryczny do Q względem prostej l, również leżący i na okręgu, i na prostej k. Wobec tego prostak i dany okrąg miałyby trzy punkty przecięcia. A wiadomo, że mogą mieć co najwyżej dwa. Czyli prosta k jest styczna do danego okręgu. Przypomnijmy, że prosta k powstała przez przedłużenie odcinka AB, a więc jest prostopadła do prostej l.

 

Niezwykle przydatnym narzędziem do rozwiązywania wielu zadań dotyczących stycznych jest następujące twierdzenie.

 

Twierdzenie 2:

Dany jest okrąg oraz punkt P leżący na zewnątrz tego okręgu. Przez punkt P poprowadzono dwie proste, które są styczne do danego okręgu w punktach A i B. Wówczas długości odcinków PA i PB są równe.

 

Dlaczego tak jest?
Powinno wystarczyć intuicyjne stwierdzenie, że cały początkowy rysunek (okrąg wraz z punktem P) jest symetryczny względem prostej zawierającej odcinek OP, więc dorysowane styczne także są symetryczne, czyli ich odcinki łączące punkt P z okręgiem muszą być równej długości.

 

Dobrze jest też popatrzeć na rysunek przestrzenny: wyobrażmy sobie, że stojąc na księżycu świecimy bardzo mocną latarką w kierunku kuli ziemskiej. Wszystkie promienie światła, które zahaczają o powierzchnię Ziemi, ale tak delikatnie, że gdyby się tylko trochę odsunęły, to przeleciałyby obok, mają tę samą długość (jeśli zapomnimy o działaniu atmosfery).

Równie często przydaje się następująca własność.

Twierdzenie 3 (o kącie między styczną a cięciwą):

Dana jest prosta AB oraz punkty C i D leżące po różnych stronach tej prostej. Wówczas jeśli okrąg opisany na trójkącie ABC jest styczny do prostej AD, to miary kątów BAD i ACB są równe. Również odwrotnie: jeśli miary kątów BAD i ACB są równe, to okrąg opisany na trójkącie ABC jest styczny do prostej AD.

Potocznie twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą mówi, że kąt miedzy styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.

Jeśli ktoś chciałby zobaczyć dowód, to wymyślenie go jest dobrym (i nie bardzo trudnym) zadaniem.

 

Wskazówka
Wystarczy skorzystać z twierdzenia 1 i wykonać rachunki na kątach.

 

 

Rozwiązanie
Przyjmijmy, że prosta AD jest styczna do okręgu opisanego na trójkącie ABC. Przez O oznaczmy środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, a przez α - miarę kąta BCA. Miara kąta BOA jest równa podwojonej mierze kąta BCA, czyli 2α. Ponieważ OB i OA są promieniami, to trójkąt BOA jest równoramienny i kąty ABO i BAO mają miarę równą 180∘−2α2=90∘−α.

 

Teraz korzystamy z twierdzenia 1: kąt OAD jest prosty. Możemy wyznaczyć miarę kąta BAD. Jest ona równa ∠OAD−∠BAO=90∘−(90∘−α)=α=∠BCA.

Dowód twierdzenia w drugą stronę przebiega bardzo podobnie - łatwo uzupełnić szczegóły.

 

W prostokąt, który nie jest kwadratem nie da się wpisać okręgu, a więc nie w każdy czworokąt da się wpisać okrąg. Następujące twierdzenie charakteryzuje te czworokąty, w które można wpisać okrąg.

Twierdzenie 4:

Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Wówczas jeśli w czworokąt ABCD da się wpisać okrąg, to AB + CD = BC + AD. Również odwrotnie: jeśli w czworokącie wypukłym ABCD zachodzi równość AB + CD = BC + AD, to w czworokąt ten można wpisać okrąg.

Zamiast dowodu wystarczy popatrzeć na rysunek i przypomnieć sobie twierdzenie 2.

 

Konstrukcje

Styczna do okręgu nie jest abstrakcyjnym obiektem - wręcz przeciwnie, łatwo ją skonstruować. Do konstrukcji przydaje się własność charakteryzująca (czyli jednoznacznie opisująca) styczne podana w twierdzeniu 1.

Przypadek łatwiejszy: mamy okrąg w o środku O i punkt P na tym okręgu; chcemy narysować prostą styczną do okręgu w punkcie P. Wystarczy narysować prostą OP i poprowadzić prostopadłą do niej przez punkt P (co uznajemy za znaną konstruckję).

Przypadek trudniejszy: mamy okrąg w o środku O i punkt A leżący poza okręgiem, po jego zewnętrznej stronie; chcemy narysować styczną do okręgu w przechodzącą przez punkt A. Problem w tym, że nie wiemy, gdzie leży punkt styczności. Przeanalizujmy sytuację, oznaczając punkt styczności przez P. Z twierdzenia 1 wiemy, że kąt APO jest prosty. Co oznacza, że punkt P musi leżeć na okręgu, którego średnicą jest odcinek AO (pamiętamy, że kąty wpisane oparte na średnicy są proste - to działa też w drugą stronę: jeśli kąt oparty na pewnym odcinku jest posty, to leży na okręgu, którego średnicą jest ten odcinek). A taki okrąg łatwo skonstruować: wyznaczamy środek odcinka AO i rysujemy z niego okrąg o promieniu AO/2. Jego punkty przecięcia z okręgiem w to mozliwe punkty styczności - zawsze są dwa, więc otrzymujemy dwie styczne.

 

A jak skonstruować proste, które będa jednocześnie styczne do dwóch danych okręgów? Ile będzie takich wspólnych stycznych?

Zacznijmy od stycznych zewnętrznych - takich, że oba okręgi leżą po ich jednej stronie. Narysujmy najpierw okrąg o środku O i promieniu r oraz okrąg o środku O' i promieniu r' (tak, żeby jeden okrąg nie leżał w kole wyznaczonym przez drugi). Naszym celem jest narysowanie prostej odległej o r od punktu O i o r' od punktu O'. Odległość prostej od punktu to właśnie długość odcinka wychodzącego z tego punktu, prostopadłego do danej prostej i mającego drugi koniec na tej prostej. W naszym przypadku te własności mają promienie poprowadzone do punktów styczności. Niech r' będzie dłuższym promieniem (chyba, że r = r').

Ale jak to zrobić? Chociaż pełnego rozwiązania jeszcze nie znamy, to umiemy rozwiązać podobny problem: narysować prostą odległą o r'-r od punktu O' i o 0 (zero) od punktu O (czyli przechodzącą przez punkt O). Oczywiście, to już było! Ta prosta jest przecież styczną do okręgu o promieniu r'-r i środku O', przechodzącą przez punkt O. Mamy nawet dwie takie proste, jeśli tylko punkt O nie leży w kole o środku O' i promieniu r'-r. Jeśli punkt O leży na brzegu tego koła, to jest jedna wspólna styczna, a jeśli leży wewnątrz koła, to wspólnych stycznych nie ma. Teraz wystarczy odsunąć te proste od punktów O i O' w kierunkach wskazanych przez promienie poprowadzone z punktu O' do punktów styczności z okręgiem o promieniu r'-r. Odsuniemy je o odległość r - wtedy odsunięte proste będą leżały w odległości r od punktu O i w odległości r'-r+r = r' od punktu O', czyli będą wspólnymi stycznymi.

Jak skonstruować styczne wewnętrzne, czyli takie, które oddzielają jeden okrąg od drugiego? Przepis jest bardzo podobny. Trzeba narysować styczną przechodzącą przez punkt O do okręgu o środku O' i promieniu r'+r, a następnie odsunąć ją od punktu O o odległość r. Odsuwanie musi być wykonane w kierunku promienia poprowadzonego z punktu O' do punktu styczności, więc odsuwając prostą od punktu O jednocześnie zbliżamy ją o r do punktu O'.

Ile będzie stycznych tego rodzaju? Mogą się one pojawić tylko wtedy, gdy okręgi nie przecinają się za bardzo. Jeśli są tylko styczne, to przez punkt styczności przechodzi jedyna wspólna styczna wewnętrzna. Jeśli przecinają się w dwóch punktach lub jeden leży w kole wyznaczonym przez drugi, wspólnych stycznych wewnętrznych oczywiście nie ma. A jeśli okręgi nie mają punktów wspólnych, to styczne wewnętrzne będą dwie.