Question

Ile razy pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest większe od pola koła wpisanego w ten trójkąt?

Answer 1

W okręgach wpisanych w trójkąt i opisanych na trójkącie zachodzi własność:
R=⅔h
r=⅓h
gdzie "R" to promień okręgu opisanego, natomiast "r" to promień okręgu wpisanego. Obliczmy ich pola

Pole dużego okręgu:
P₁=πR²=π*(⅔h)²=⁴/₉h²π

Pole małego okręgu:
P₂=πr²=π*(⅓h)²=¹/₉h²π

choć nie znamy wartości h to nas ona nie interesuje tak jak nie interesuje nas pole. Nas interesuje ile razy większe pole ma okrąg opisany, a więc stosunek pola dużego okręgu do pola małego okręgu:
P₁/P₂ = (⁴/₉h²π)/(¹/₉h²π) = (⁴/₉)/(¹/₉) = ⁴/₉ * ⁹/₁ = ⁴/₁ = 4

h²π się skróciło
Odp: Pole okręgu opisanego na trójkącie jest 4 razy większe od pola okręgu wpisanego w trójkąt