Question

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y=2x-1 z okręgiem o rów.

x kwadrat+2x+y kwadrat-4y=4 ?

Answer 1

y = 2x - 1

x^2 + 2x + y^2 - 4y = 4

------------------------------

Do równania okręgu podstawiam za   y = 2x - 1

x^2 + 2x + ( 2x - 1)^2 - 4*(2x -1) = 4

x^2 + 2x + 4x^2 - 4x + 1 - 8x + 4 = 4

5 x^2  - 10 x + 1 = 0

--------------------------

delta = ( -10)^2 - 4*5*1 = 100 - 20 = 80 = 16*5 > 0

Odp.

Równanie ma dwa rozwiązania, zatem prosta ma z danym okręgiem

2 punkty wspólne.

===================

Dodatkowo wyznaczamy te dwa punkty:

p( delty) = p(16*5) = 4 p(5)

x = [ 10 - 4 p(5)]/10 = 1 -  0,4 p(5)

lub

x = [ 10 + 4 p(5)]/10 = 1 +  0,4 p(5)

zatem

y = 2*( 1 - 0,4 p(5)) - 1 = 1 - 0,8 p(5)

lub

y = 2*( 1 + 0,4 p(5)) - 1 = 1 + 0,8 p(5)

Punkty przeciącia się prostej z okręgiem:

A = (1 - 0,4 p(5) ; 1 - 0,8 p(5) )

B = ( 1 + 0,4 p(5) ; 1 + 0,8 p(5) )

================================

 

Uwaga:  p(5) - pierwiastek kwadratowy z 5