Question

Ile początkowych wyrazów podanego ciągu arytmetycznego nalezy dodac,aby otrzymana suma byla większa od liczby 200?
a) -9,-7,-5,-3,-1,1,...
b) -4,-3,-2,-1,0,1,...

Answer 1

a)

- 9, -7, -5, -3,-1 , 1 , ...

zatem  mamy ciąg arytmetyczny o

a1 = - 9   oraz  r = 2

an = a1 + ( n -1)*r = - 9 + ( n -1)*2 = 2 n - 11

Sn = 0,5 *[ a1 + an]*n = 0,5*[ - 9 + 2n - 11 ]*n = 0,5*[ 2n - 20]*n = ( n - 10)*n

Sn > 200 <=> ( n - 10)*n > 200

n^2 - 10 n - 200 > 0

---------------------------

delta = ( - 10)^2 - 4*1*( -200) = 100 + 800 = 900

p( delty) = 30

n = [ 10 + 30]/ 2 = 40/2 = 20

Odp. Trzeba dodać  więcej niż 20 początkowych  wyrazów tegp ciagu.np. 21.

================================================================

b)

 - 4, -3,-3,-1,0,1 , ...

Mamy ciag arytmetyczny  o  a1 = - 4   i   różnicy  r = 1

zatem

an = a1 +( n -1)*r = - 4 + ( n -1)*1 = - 4 + n - 1 = n - 5

Sn = 0,5*[a1 + an]*n = 0,5*[ - 4 + n - 5]*n = 0,5 *[ n - 9]*n = 0,5*(  n^2 - 9 n) =

= 0,5 n^2 - 4,5 n

Sn > 200 <=>  0,5 n^2 - 4,5 n > 200

0,5 n^2 - 4,5 n - 200 > 0

delta = ( -4,5)^2 - 4*0,5*( - 200) = 20,25 + 400 = 420,25

p (delty) = 20,5

n = [ 4,5 + 20,5]/1 = 25

Odp. Trzeba dodać więcej niż 25 początkowych wyrazów tego ciągu, np. 26.

====================================================================

Answer 2

a]

a₁=-9

a₂=-7

r=-7-(-9)=2

Sn=[2a₁+(n-1)r]/2×n

[2×(-9)+(n-1)×2]/2×n>200    /×2

[-18+2n-2]n>400

-20n+2n²-400>0/:2

n²-10n-200>0

Δ=100+800=900

n₁=[10-30]/2=sprzeczne

n=[10+30]/2=20

n>20

należy dodać minimum 21wyrazów

b]

r=-3-(-4)=1

[2×(-4)+(n-1)]/2×n>200

[-8+n-1]n>400

n²-9n-400>0

Δ=81+1600=1681

√Δ=41

n=[9+41]/2=25

należy dodać ponad 25 wyrazów