Hej wszystkim:* Bardzo bym potrzebowała rozwiązania tych zadań, ponieważ walczę o wyższą ocenę na koniec, a sama sobie nie radzę z nimi. Byłabym bardzo wdzięczna nie tylko za sameyniki, ale także pełne rozwiązania.
Zad 1.
Wazon ma kształt ostrosłupa o wysokości 20 cm, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 14 cm i 9 cm. Czy woda z dwóch takich wazonów zmieści się w jednym wazonie?
Zad 2.
Oblicz długości krawędzi bocznej ostosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości 10, którego objętość wynosi 320 pierwiastki z 3.
Zad 3.
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowgo trójkątnego jest równe 16 pierwiastek z 3. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 30 stopni. Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
Zad 4.
Wysokość ściany bocznej strosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 10 cm. Ściana boczna tworzy z płaszczyną podstawy kąt o mierze 30 stopni. Oblicz poe powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zad 5.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 12, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30 stopni. Ile razy większa byłaby objętość bryły, gdyby ten kąt był dwukrotnie większy?
Zad 6.
Szklany breloczek ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Krawędź boczna długości 4 cm tworzy z wysokością ostroslupa kąt o mierze 45 stopni. Ile gramów waży breloczek, jeśli 1 cm sześcienny szkła waży 3 g?
Zad 7.
Do pięciu ścian sześcianu o krawędzi długości 6 doklejamy podstawami pięć ostrosłupów prawidłowych czworokątnych, w których kąt zawarty między przeciwległymi krawędziami bocznymi jest kątem prostym. Jaką objętość ma otrzymany wielościan?
Zad 8.
Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości 6 cm.
Zad 9.
Do sześciennego naczynia o krawędzi długości 18 cm wypełnionego w połowie wodą wrzucono metalowy klocek w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach długości 6 cm. O ile podniósł się poziom wody w tym naczyniu?
Zad 1.
Dane :
wysokość ostrosłupa : H= 20cm
podstawa romb;
przekątna : d = 15 cm
przekątna : f = 9 cm
V=1/3 * Pp *H
Pp= ½ d*f
Pp= ½ *15*9 = 67,5 cm²
V= 1/3 * 67,5 *20 =450 cm³
dwa wazony :
450 cm³ * 2 = 900 cm³
1l = 1000 cm³
900 cm³ = 0,9 l
(Jeden wazon ma pojemność jak mi podałaś 1l)
Odp.i woda z tych dwóch wazonów zmieści się w jednym wazonie o pojemności 1l
zad.2
Dane :
wysokość : H= 10 cm
V= 320√3
V= Pp *H
Pp= 3a²√3/2
320√3 = 3a²√3/2 * 10
320√3= 15a²√3 /: 15 √3
a² =320/15
a² = 64/5
a = √64/5 = 8/√5 = 8/√5 * √5/√5 = 8√5/5
liczymy krawędź boczną : b
b² = a² + H²
b² = ( 8√5/5)² + 10²
b² = 320/25 + 100 = 12,8 + 100 = 112,8
b=√112,8 ≈ 10,6 cm
zad.3
dane :
Pp= 16√3
Pp= a²√3/4
16√3 = a²√3/4 /*4/√3
64 = a²
a= √64
a= 8
liczmy wysokość podstawy :
h= a√3/2
h=8√3/2 = 4√3
odcinek łączący krawędż boczną z wysokością : x
x= 2/3 h = 2/3 * 4√3 = 8√3/3
teraz z własności trójkata prostokątnego o kątach 30, 60, 90 stopni
mamy:
obliczamy wysokość ostrosłupa :
x√3 = 8√3/3 / :√3
x=8 /3
H= 8/3
liczymy wysokość krawędzi bocznej: b
b² = x² + H²
b² = (8√3/3)² + (8/3)² = 192/9 + 64/9 = 256/9
b² = √256/9 = 16/3 = 5 i 1/3
zad. 4
wysokość ściany bocznej : hśb = 10 cm
z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30,60 stopniach mamy :
wysokość trójkąta równobocznego podstawy „
h = 5√3
h= a√3/2
5√3 =a√3/2 /* 2/√3
a= 10 cm
Pb= 6 * (1/2 a*hśb)
Pb= 6 * ½ * 10* 10 = 300 cm²
zad.5
Dane :
krawędź podstawy : a= 12 cm
mając kąt 30 stopni wiemy że między wysokością ściany bocznej ,połową boku przekątnej podstawy
i wysokości ą ostrosłupa mamy trójkąt prostokątny o kątach : 30,60 stopni
i korzystając z jego własności obliczymy : H
d= a√2
d= 12√2
d/2 = 6√2
i w tym trójkącie połowa przekątnej jest równa
a√3 = 6√2 /:√3
a = 6 √2/√3 = 6√2/√3 *√3/√3 = 6√6/3 cm = 2√6
czyli :
H= 2√6
V= 1/3 Pp *h
Pp= a²
P= 12² = 144 cm²
V= 1/3 * 144 * 2√6 = 96√6 cm³
mając kąt 60 stopni
d= a√2
d= 12√2
d/2 = 6√2
H= 6√2 * √3= 6√6
V= 1/3 Pp *h
Pp= a²
P= 12² = 144 cm²
V= 1/3 * 144 * 6√6 = 432√6 cm³
432√6 : 96√6 = 4,5 razy
zad. 6
Dane :
krawędź boczna : 4 cm
kat 45 stopni , mamy trójkat równoramienny
d= b√2
4 =b√2
b=4/√2 = 4/√2 *√2/√2 = 4√2/2 = 2√2
i jest to połowa przekątnej podstawy :
D/2 = 2√2
D= 4√2
a wysokość H= 2√2
krawędź podstawy:
D=a√2
4√2 = a√2
a= 4√2/√2 = 4√2/√2 *√2/√2 = 8/2 =4 cm
V= 1/3*Pp *H
Pp = 4² = 16
V= ½ *4 * 2√2 = 4√2 = 4 *1,41 = 5,65 cm³
5,65 cm3 * 3g /cm3 = 16,95 g
zad. 7
Vś-objetosc szescianu
Vś=a³=6³=216
Vc-objetosc calej figury
Vo-objetosc ostroslupa
Vc=Vś+4Vo
Aby obliczyc objętość ostrosłupa potrzebna nam jest jego wysokosc
Wysokosc ta mozna obliczyc tworzac trójkat pomiędzy przciwległymi krawędziami tego ostrosłupa
Otrzymujemy trójkat:
o podstawie-6√2- podstawa tego trojkata jest przekątna kwadratu o boku 6
o bokach- a - boki sa równoramienne
o katach 90⁰,45⁰,45⁰
Dzielimy trójkat na połowe i otrzymujemy dwa trojkaty prostokątne
o kątach 90⁰,45⁰,45⁰
o przyprostokątnych 3√2 - połowa przekątnej kwadratu
o przeciwprostokatnej a
W jednej przyprostokatnej zawiera sie wysokość ostroslupa, czyli wynosi 3√2
Obliczamy objetesc tego ostroslupa
Vo=1/3*36*3√2=12*3√2=36√2
Vc=216*4*36√2=216+144√2=72(3+2√2)
Zad 8.
dane :
krawędź a= 6 cm
V= a³√3/12
V= 6³√3/12 = 216√3/12 = 18√3 cm³
Zad 9.
krawędź a= 18 cm
wysokość wody H = ½ a = 9 cm
V=Pp *h
Pp=18² = 324
V= 324 *9 =2916 cm³
klocek drewniany
dane:
krawędź podstawy : a= 6cm
krawędż boczna : b= 6 cm
w podstawie kwadrat
obliczam przekątna kwadratu : d
d= a√2 = 6√2
obliczam H z tw. Pitagorasa obliczam wysokość ostrosłupa jaki tworzy połowa przekątnej i krawędź boczna
b² = (d/2)² + H²
H² = b² -(d/2)²
H² = 6² - (3√2)²= 36-18 =18
H = √18 = √9*2 = 3√2 cm
V = 1/3 a²*H
V = 1/3*6²*3√2
V = 36√2 = 36* 1,41 = 50,76 cm³
V= 2916 +50,76 = 2966,76 cm³
V= Pp*h
2966,76 = 324 *h
h≈ 9,16 cm
9,16cm – 9 cm = 0,16 cm
odp. woda podniosła się o 16 mm