Question

Hej. Mam taki problem. W piątek mam sprawdzian z matematyki ze zbiorów - matematyka liceum klasa 1 rozszerzenie. Bardzo bym was prosił o wytłumaczenie mi co niektórych zadań. Daje bardzo dużo punktów i proszę żeby to wytłumaczyć w jakiś normalny sposób a nie z wikipedi... chodzi mi o zdjęcie 1. Jak wyznacza się te zbiory? Proszę żebyście mi wytłumaczyli. Również A U (B^iloczyn C) również te A` U B` ( działania na zbiorach). Wartość bezwzględna - zadania. Wzory skróconego mnożenia kwadrat sześcian Równania i nierównania z wartością bezwzględną. Dziękuję wam z góry za pomoc. Pozdrawiam :)! Zgłaszam odpowiedzi bez sensu !

Answer 1

Wstep teoretyczny.

Mozna powiedziec ze zbiór to jego wnetrze, czyli to co zawiera.
Zbiór jako pojęcie to jest podział wszsytkich elementów na te
które do niego należa i te które do niego nie należą.
W matematyce zapisuje się zbiór tak A = {1,2,3}.
Ten zapis mówi, że utworzyłem właśnie zbiór, nazwałem go A,
i powiedziałem, ze należa do niego liczby 1, 2 i 3,
a wszystkie inne nie należą.
Co do tego "wszystkie inne" to przyjmuje sie pewne uproszczenie.
Nieskończona jest liczba obiektów w świecie.
Zawsze wydziela się jednak pewną interesującą nas omegę/przestrzeń i
mowi się, ze to jest "wszystko" i na elementach z tego "wszystkiego"
wprowadza się podziały na zbiory. Ja do mojego zbioru wrzuciłem kilka
liczb spośród wszsytkich naturalnych. Zawsze jednak bardziej interesujace
bedzie co w zbiorze jest niż czego w zbiorze nie ma.

Działania na zbiorach.

Zbiory to nie to samo co liczby, w tym sensie, ze nie ma na nich operacji dodawania ani mnożenia.
Ale sa inne działania: sumowanie, czesc wspolna i roznica.

Sumowanie zbiorów to wyznaczenie wszystkich elementów, które
są przynajmniej w jednym z sumowanych zbiorów. To jest formułka.
Bardziej obrazowo możnaby powiedzieć, że do sumy, ktora jest
zbiorem, wyjmuje się elementy z sumowanych zbiorów i wrzuca wszystkie razem i
duzo byloby w tym prawdy. Mały błąd który popelnia sie przy tym obrazowym przedstawieniu sprawy jest taki, ze w zbiorach elementy moga się powtarzac, a nie chcemy brac dwa razy tego samego.

Przyklad sumowania:
A = {1, 3, 6, 8}
B = {3, 4, 8, 11, 20}
A suma B = {1, 3, 4, 6, 8, 11, 20}
znak graficzny - kubek, litera U


Uwaga: sumowanie czesto pokazuje sie graficznie.
Na te kółka podpisane literami A i B, ktore zachodza troche na siebie, należy spojrzeć jak na zakreślanie punktów na całej płaszczyżnie.
Te punkty, które sa wewnatrz kółka A sa w zbiorze A.
Te punkty, które sa wewnatrz kółka B sa w zbiorze B.
Suma to kazdy punktu, który jest we wnetrzu chocby jednego z tych kółek.

Dla lepszego zrozumienia, mozna na takim rysunku postawic losowo
kropke i zadac sobie pytania:
czy ten punkt jest w A? czy ten punt jest w B?
czy ten punkt nalezy do sumy zbiorów A i B?

Cześć wspolna, czyli iloczyn zbiorów, definiuje się podobnie jest sume, z tym, ze sa to te elementy, ktore sa jednoczesnie w A i B.

Dla powyższego przykładu zapiszę:
A iloczyn B = {3, 8}
Znak graficzny iloczynu to odwrocony kubek, odwrocone U

Rożnica zbiorów
A \ B = te elementy które sa w A ale nie sa B
A \ B = {1, 6}
B \ A = te elementy które sa w B ale nie sa A
B \ A = {4, 11, 20}
na tym przykładzie widac, ze wynik A \ B nie jest taki sam jak B \ A

Dopelnienie zbiorów.
A' to wszystkie te elemnty, ktore nie sa w A.
Na rysunku widze, ze omega, czyli zbór elementów, ktore w ogole
ropatruje sie w zadaniu jest oznaczony litera U, czyli caly prostokąt.
Wiec A' to sa te punktu w tym prostokacie, ktore nie sa zakreslone przez
kolko z napisem A, które są poza kółkiem A.

Dla wnikliwych - punkty lezace na linii, ktorą jest zakreslone kolko mozna
traktowac jako nalezace do A, ale to nie jest istotne. To nie jest istota
zbiorów. To tylko reprezentacja graficzna. Wazniejsza jest przestrzen,
ktora to kolko zakresla.

Zbiory sa rozłączne jezeli kołka nie stykaja się, i nie ma ja czesci wspolnej.
Iloczyn zbiorow rozlocznych jest pusty.
Zbior pusty tez jest zbiorem, tylko ze bez elementow.
Troche taki odpowiednik zera w liczbach. 0 tez jest liczba, chociaz bez wartosci.
Zbiory nierozłączne to takie co zachodza na siebie.

To tyle. Reszta to robienie przykładów.
Na przykładach przećwiczy sie i zrozumie teorię.

W zadaniu postepuje sie tak:
jam mam zaznaczyc zbior A iloczyn (B \ C)
to patrze na zbior B \ C, czyli zakreslam sobie na rysunku tych kółek,
ten obszar, ktory jest w B ale nie jest w C,
w drugiej kolejnosci zakreslam sobie obszar ktory jest w A
a nastepnie jeszcze innym kolorem zakreslam to gdzie te obszary
na siebie zachodza (bo tak sie pokazuje czesc wspolna, iloczyn)

To chyba tyle jeżeli chodzi o zbiory, w razie pytań, śmiało.

Wartosc bezwzledna.
|x| to jest odleglosc x na osi od 0
czyli jest zawsze dodatnia
|x| = x jezeli x > 0, czyli jak |2| = 2, jak jest dodania to sie opuszcza modul
|x| = -x jezeli x < 0, czyli jak |-2| = -(-2) = 2, bo trzeba dodac minus aby z ujemnej zrobic dodatnia

Zadan kilka rozwiazałem na moduly tutaj:
http://zadane.pl/zadanie/7972125
http://zadane.pl/zadanie/8017655
http://zadane.pl/zadanie/8017201
jest tam sporo opisów, wiec moze warto przejrzeć.

Jest tam chyba cały przeglad tego jak się z modulami postepuje.
np w prosty równaniu typu |x| = 5 opuszcza się moduł pisząc, ze x moze byc albo 5 albo minus 5.
W module moze byc bardziej zlozone wyrazenie zamiast x, ale modul
niezaleznie od tego co wewnarz opuszcza sie w pierwszej kolejnosci zawsze tak samo,
czyli rozbijajac na dwa przypadki pisząc, że wyrazenie w module moze być równe plus/minus to co za znakiem równości.

Jak jest nierownosc, to sa dwie mozliwosci:
1.  |x| < 5 zamienia sie na x > -5 i x < 5 czyli x nalezy do zbioru (-5,5)
(i rzeczywiście moduł każda liczby z przedziału (-5,5) jest mniejszy od 5.)
2.  |x| > 5 zamienia sie na x < -5 lub x > 5 czyli suma zbiorów (-niest,-5) i (5,+niesk)

Jak jest kilka modulow w jednym wyrazeniu
|x| + |x+1| to opuszcza sie wszstkie na raz, przy czym robija sie zadanie na przypadki
takie, ze w kazdym przypadku/przedziale zmiennej, moduly maja ustalony znak, tak aby
przy opuszczaniu modulu wiedziec czy dodac ten minus do wyrazenia czy nie.
w tym przypadku moduly sie zeruja dla x = 0 i x = -1
wiec beda przedzialy (x < -1), (x >= -1 i x < 0), (x >= 0)
i w kazdym z tych przedziałów oddzielnie rozwiazuje sie przykład,
czy to rownanie czy nierówność

I ostatecznie wzory skróconego mnożenia.
Jest ich 3 podstawowe
(a+b)^2 = a^2 + 2b + b^2
(a-b)^2 = a^2 - 2b + b^2
(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Wyjaśnienie:
te wzory wynikają z działań wykonanych na nawiasach.
(a+b)^2 = (a+b) * (a+b) = a * a + a * b + b * a + b * b = a^2 + 2ab + b^2
nawiasy mnożyłem metodą każdy z każdym
(a-b)^2 = (a-b) * (a-b) = a * a - a * b - b * a + b * b = a^2 - 2ab + b^2
(a+b) * (a-b) = a * a - a * b + b * a - b * b = a^2 - b^2

I pewnie szesciany, ale to rzadziej sie uzywa:
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

dla cwiczenia mozna wykonac działanie (a+b)*(a+b)*(a+b), aby samemu taki wzór sobie wyliczyc.

W tym dziale (wzory skróconego mnożenia) jest mi troche troche trudniej wskazać jakieś specyficzne metody rozwiazań zadań. Chyba ogólnie trzeba troche tych przykładów zrobić. Jeżeli podrzucisz jakieś zadanko to chętnie objaśnię.

W tym pytaniu są chyba przykłady, które mogą obowiązywać, sprawdz czy umiesz je policzyc sam:
http://zadane.pl/zadanie/7748981
w jeden z tym przykładów, powinna byc y^4: (y^2 -10)^2 = y^4 - 20y^2 +100

Taki przykład wzięty z jakiegoś sprawdzianu w gimn z neta:
zapisz w jak najprostszej postaci
(5m +4n)^2 - (4m - 5n)^2 =
korzystam ze wzoru na różnice kwadratów:
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
gdzie a = 5m + 4n; b = 4m - 5n
= (5m +4n + 4m – 5n)(5m +4n - 4m + 5n) =
= (9m - n) (m + 9n) =
mnoże nawias przez nawias:
= 9m * m + 9m*9n - n*m -n*9n = 9*m^2 + 80mn - 9*n^2

Mam nadzieje, ze te wyjaśnienia okażą się pomocne przy ćwiczeniu zadań.