Question

HALLAR X EN: 1!x4 + 2!x9 + 3!x16........+20!x441=X! - 2!

Answer 1

Sea:
1!(4) + 2!(9) + 3!(16)........+20!(441)=x! - 2!

Restando 2! a ambos lados de la igualdad:

1!(4) + 2!(9) + 3!(16)........+20!(441) + 2! = x!

1!(2²) + 2!(3²) + 3!(4²)........+20!(21²) + 2! = x!

1!(2*2) + 2!(3*3) + 3!(4*4)........+20!(21*21) + 2! = x!

Ahora notamos que:

2!(2) + 3!(3) + 4!(4)+...+ 21! (21) + 2! = x!

Sumando en cada paréntesis 0 (1-1):
2!(2+1-1) + 3!(3+1-1) + 4!(4+1-1)+...+ 21! (21+1-1) + 2! = x! 

2!(3 - 1) + 3!(4-1) + 4!(5-1)+...+21!(22-1) + 2! = x!

3! - 2! + 4! - 3! + 5! - 4! + ... + 22! - 21! + 2! = x!

Aquí notamos que se cancelan términos consecutivos iniciando por el 2! y el -2! quedando solo un término:
22! = x!

Por consiguiente x= 22