Question

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto P(0,4), distan 3 unidades del punto A(3,0).

Answer 1

La respuesta son las rectas tangentes a una circunferencia con centro en (3, 0) y radio = 3, que pasan por el punto (0, 4)

La ecuación de la circunferencia es (x - 3)² + y² = 9

La ecuación de la recta buscada es de la forma y - 4 = m x; m es la pendiente de la recta tangente, a determinar.

Si intente la intersección de la circunferencia con a recta. Se impone la condición que la intersección sea un solo punto. Para ello el discriminante de la ecuación de segundo grado que resulta sea nulo

y = m x + 4; reemplazamos:

(x - 3)² + (m x + 4)² - 9 = 0; quitamos paréntesis y reagrupamos:

(m² + 1) x² + (8 m - 6) x + 16 = 0

El discriminante debe ser nulo:

(8 m - 6)² - 4 (m² + 1) . 16 = 0; quitamos paréntesis:

Nos  queda 96 m + 28 = 0; o sea m = - 0,292

Las rectas tangentes son: a) x = 0 (el eje y); y = - 0,292 x + 4

Se adjunta gráfico.

Saludos Herminio