Question

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Płaszczyzna ta przecina trzy krawędzie boczne i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Oblicz pole otrzymanego prekroju.

Answer 1

Przekrój to pięciokąt. Aby było łatwiej policzymy pole trójkąta i potem odejmiemy od niego pola dwóch trójkątów.

 

Cały rysunek jest symetryczny względem płaszczyzny przechodzącej przez wieszchołki B, D prostopdalej do płaszczyzny podstawy, ponieważ boki AB oraz CB są podzielone przez naszą płazczynę w tej samej proprcji:

 

 

Ponadto trójkąty GBF oraz ECF są przystające:

 

 

Natomiast trójkąty DLE oraz CHE podobne (cecha kkk), skala podobieństwa:

 

 

Ponieważ CH jest rzutem prostokątnym IH na płaszczyznę podstawy to z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych HI jest prostopadła do HE wtedy i tylko wtedy gdy CH jest protopadła do HE. Ponieważ CH z kontrukcji jest wysokością trójkąta FEC to jest prostopasdła do HE stąd HI jest również prostopadła do HE więc CHI to kąt między płaszczyzną podstawy, a rozważaną płaszczyzną:

 

 

Po przeprowadzeniu analogicznego rozumowani otrzymujemy:

 

 

Teraz jesteśmy gtowi do policzenia pola FEI:

 

 

Analogicznie liczymy pole JLE zauważając, pamiętając o policzonej skali podobieństwa:

 

 

Podstawiamy do wzoru: