Question

FUNkcja kwadratowa f(x) =x2+bx+c jest malejąca w przedziale ( - nieskoncz , 1> i rosnąca w przedziale <1;+ nieskoncz.) wierzcholek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej k:y=4x-8
a) wyznacz współczynniki b i c trójmianu
b) obicz miejsca zerowe
c) rozwiąż nierówność f(x) mniejsze równe 4x-8







zadanie 2
funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = 0,5x2+ 0,8x+c gdzie c jest liczbą rzeczywistą. Funkcja ta ma tylko jedno mniejse zerowe
a) wyznacz wartość współczynnika c
b)rozwiąż nieróność | x-p| mniejsze równe 0,2 gdzie p jest odciętą wierzchołka paraboli funkcji f
c) dla obliczonej wartości c wyznacz zbiór tych argumentów dla których wartość funkcji f są od wieksze od wartości funkcji kwadr. g jesli g(x)=x2+0,32

Answer 1

1.
a)
Na podstawie monotoniczności można stwierdzić, że x wierzchołka to 1.

Liczę x wierzchołka z pochodnej (Ty możesz ze wzoru)
f'(x) = 2x + b
f'(x) = 0 <=> x = -b/2

-b/2 = 1 [to co wyliczyliśmy = to co wiemy z treści]
b = -2

następnie wiedząc, że wierzchołek leży na prostej k:y=4x-8 i że x wierzchołka to 1

f(1) = 4*1 - 8 = -4

f(x) = x2 -2x +c

f(1) = 1-2+c = c-1

c-1 = -4
c = -3

f(x) = x2 -2x -3

b) f(x) = 0 <=> x2 -2x -3 = 0
f(x) = (x-3)(x+1) => miejsca zerowe dla x = 3 i x = -1

c) f(x) <= 4x-8
x2 - 2x - 3 <= 4x - 8
x2 - 6x + 5 <= 0
(x-5)(x-1) <= 0 [a > 0, końce paraboli skierowane w górę, wartość mniejsza od 0 dla przedziału pomiędzy m. zerowymi]

x należy <1, 5>

2.
zadanie 2
f(x) = 0,5x2+ 0,8x+c gdzie c jest liczbą rzeczywistą.

a)
1 miejsce zerowe <=> delta = 0
b2 - 4ac = 0
0,64 - 2c = 0
c = 0,32

b) liczę x wierzchołka z pochodnej [Ty możesz ze wzoru]
f'(x) = x + 0,8
f'(x) = 0 <=> x = -0,8 [zgodnie z trescią zadania p = -0,8]

| x-p| <= 0,2
|x+0,8| <= 0,2

x+0,8 <= 0,2 lub x+0,8 >= -0,2
x <= -0,6 lub x >= -1

c) f(x) > g(x)
0,5x2+ 0,8x + 0,32 > x2+0,32
-0,5x2 + 0,8x > 0
-0,5x(x-1,6) > 0

miejsca zerowe: x = 0 oraz x = 1,6
a < 0 => końce paraboli skierowane w dół => wartosci dodatnie pomiedzy miejscami zerowymi

odp. 0 < x < 1,6

Answer 2

FUNkcja kwadratowa f(x) =x2+bx+c jest malejąca w przedziale ( - nieskoncz , 1> i rosnąca w przedziale <1;+ nieskoncz.) wierzcholek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej k:y=4x-8
a) wyznacz współczynniki b i c trójmianu

f(x) =x2+bx+c
p=1
k:y=4x-8
y=4*1-8
y=-4
W=(1;-4)
y=(x-1)²-4
y=x²-2x+1-4
y=x²-2x-3
b=-2;c=-3

b) obicz miejsca zerowe
Δ=4+12=16
√Δ=4
x=3 lub x=-1

c) rozwiąż nierówność f(x) mniejsze równe 4x-8
x²-2x-3≤4x-8
x²-6x+5≤0
(x-5)(x-1)≤0
x=5 lub x=1
parabola ramiona w górę
x∈<1;5>

zadanie 2
funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = 0,5x2+ 0,8x+c gdzie c jest liczbą rzeczywistą. Funkcja ta ma tylko jedno mniejse zerowe
a) wyznacz wartość współczynnika c
f(x) = 0,5x2+ 0,8x+c
Δ=0
Δ=0,64-4*0,5 c
Δ=0,64-2 c
0,64-2 c=0
2 c=0,64
c=0,32

b)rozwiąż nieróność | x-p| mniejsze równe 0,2 gdzie p jest odciętą wierzchołka paraboli funkcji f
| x-p|<0,2
p=-b/2a
p=-0,8/1
p=-0,8

| x+0,8|<0,2
-0,2<x+0,8<0,2
-1<x<-0,6
x∈(-1;-0,6)

c) dla obliczonej wartości c wyznacz zbiór tych argumentów dla których wartość funkcji f są od wieksze od wartości funkcji kwadr. g jesli g(x)=x2+0,32
f(x) = 0,5x2+ 0,8x+0,32
0,5x2+ 0,8x+0,32>x2+0,32
0,5x2+ 0,8x>x2
-0,5x2+ 0,8x>0
x(-0,5x+0,8)>0
x=0 lub x=1,6
ramiona paraboli w dół
x∈(0;1,6)