Question

Funkcja f(x) = -4x^3+44x^2-156x+180 opisuje objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 20-4x. Wyznacz długość krawędzi podstawy graniastosłupa oraz dziedzinę funkcji f . Oblicz f(a) , gdzie a należy do Df i a jest liczbą naturalną

Daje naj , !!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

F(x) = -4x^3+44x^2 - 156x+180 = V
V = a^2*h
a - długość krawędzi podstawy
h = 20-4x = -4x +20
a^2 = V/h =
(-4x^3+44x^2-156x+180) : (-4x +20) =
=[-4(x^3 - 11x^2 + 39x - 45)} /[-4(x-5)] =
=(x^3-11x^2+39x-45)/(x-5)=
=(x^3-5x^2-6x^2+30x+9x-45)/(x-5)=
=[(x^2(x-5)-6x(x-5)+9(x-5)]/(x-5) =
=[(x-5)(x^2-6x+9)]/(x-5) = x^2-6x+9 = (x-3)^2

a^2 = (x-3)^2
a1 = x-3    lub  a2 = 3-x

Dziedzina - objętość musi być wyrażona w wartościach dodatnich:
f(x) >0
-4x^3+44x^2 - 156x+180 >0  |:(-4)
x^3-11x^2+39x-45 <0
(x-5)(x^2-6x+9) <0
(x-5)(x-3)^2<0
(x-3)^2 jest zawsze nieujemne
więc
x ≠3 i
x-5 <0
x<5
D: x ∈ (-∞,3)∨(3,5)

Z warunku, że a naleźy do Df i jest liczbą naturalną wynika:
-dla a1
 a1 = x-3 >0  i a1 ∈ N
x-3>0
x>3
Jedyne x należące do dziedziny spełniające warunki a ∈N to 4
a1 = 4-3 = 1
f(a1) = f(1) = -4 +44 - 156 + 180 =64

- dla a2:
a2 = 3-x > 0 i a2 ∈N
3-x>0
x<3
Warunki są spełnione dla x = 1 i x = 2
a2 = 3-1 = 2  lub a2 = 3-2 = 1 = a1
f(a2) = f(2) = -4*2^3 + 44*2^2-156*2+180 = -4*8 + 44*4 -312 +180 = -32 + 176 -   132 =12