Funkcja f przyporządkowuje każdej wartości parametru m liczbę pierwiastków równania (m-2)x^2 + (4m-6.... Question from @tomeksiema

September 2018 1 15 Report

Funkcja f przyporządkowuje każdej wartości parametru m liczbę pierwiastków równania (m-2)x^2 + (4m-6)x + 5m-6=0. Zapisz wzór funkcji f i naszkicuj jej wykres.

Roma

$(m-2)x^2 + (4m-6)x + 5m-6=0$

To równanie dla m - 2 = 0, nie jest równaniem kwadratowym, czyli dla m = 2 otrzymujemy równanie:

(2-2)x² + (4·2-6)x + 5·2-6=0

0·x² + (8-6)x + 10 - 6 = 0

2x + 4 = 0

Jest to równanie liniowe i ma ono 1 rozwiązanie:

2x + 4 = 0

2x = - 4 /:2

x = - 2

Zatem dla m = 2 równanie wyjściowe ma 1 rozwiązanie.

Zbadamy ile rozwiązanań będzie miało równanie wyjściowe dla m ≠ 2

$(m-2)x^2 + (4m-6)x + 5m-6=0$

Jest to równanie kwadratowe, więc ilość rozwiązań zależy od wartości wyróżnika Δ = b² - 4ac:

Δ < 0 równanie kwadratowe nie ma rozwiązań

Δ = 0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie

Δ > 0 równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$\Delta = (4m - 6)^2 - 4 \cdot (m-2)(5m-6) = 16m^2 - 48m+36 -$

$- (4m-8)(5m-6) = 16m^2 - 48m+36 - (20m^2 -24m - 40m + 48)=$

$= 16m^2 - 48m+36 - (20m^2 -64m + 48)=16m^2 - 48m+36 - 20m^2 +64m - 48=$

$=-4m^2+16m-12$

Sprawdzamy dla jakich m wyróżnik Δ jest równy zero, większy od zera i mniejszy od zera, pamietając o zał. m ≠ 2

$-4m^2+16m-12$

$\Delta = 16^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-12) = 256 - 192 = 64; \ \sqrt{\Delta} = 8$

$m_1 = \frac{-16 -8}{2 \cdot (-4)} = \frac{-24}{-8} = 3$

$m_2 = \frac{-16 +8}{2 \cdot (-4)} = \frac{-8}{-8} = 1$

Zaznaczamy wartości m w układzie wspólrzędnych i rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik), z którego odczytujemy rozwiązanie, pamietając o ustaleniu, że dla m = 2 równanie wyjściowe ma 1 rozwiązanie, bo nie jest wtedy równaniem kwadratowym.

$f(m) = \begin{cases} 0 \ dla \ m \in (-\infty; \ 1) \cup (3; \ +\infty)\\1 \ dla \ m \in \{1; \ 2; \ 3\}\\2 \ dla \ m \in (1; \ 2) \cup (2; \ 3)\end{cases}$