Question

Dziedziną D funkcji f jest zbiór liczb trzycyfrowych niepodzielnych przez 10. Funkcja f każdej liczbie n należy D przyporządkowuje liczbę trzycyfrową,która powstaje przez zapisanie cyfr liczby n w odwrotnej kolejności ;
a) ile liczb należy do zbioru D
b) oblicz ile jest takich liczb n należących do D, że f(n) =n
c) uzasadnij,że dla każdego n należącego do D liczba f (n)-n jest podzielna przez 99

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=(x-4)^3+(3x-8)^2.
a) znajdź te argumenty, dla których wartość funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g(x)=x^3-x^2 -8x+8
b) znajdź miejsce zerowe funkcji f.

Największa wartość funkcji kwadratowej f jest równa 9. Liczby 0 i 6 są miejscami zerowymi tej funkcji
a) zapisz wzór funkcji f w postaci ogólnej
b) dla jakich x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji określonej wzorem y=x+4

Współczynniki a,b,c,d wielomianu W(x)=ax^3-bx^2-cx+d tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r.Wykaż,że jeżeli ar>0,to wielomian W(x) ma trzy miejsca zerowe.

Answer 1

A) D = Ω
Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) [pierwsza liczba nie może być 0 - nie będzie to wtedy liczba 3 cyfrowa, ostatnia liczba nie może być zerem - będzie wtedy podzielna przez 10]
Ω = 9 * 10 * 9 = 810

b) np. f(262) = 262
liczba, którą wkładamy do funkcji wygląda tak: xzy
gdzie x > 0 [bo np. 050 nie jest liczbą] i y różne od 0

By liczba była czytana od przody i od tyłu tak samo musi zajść związek:
x = y, z jest obojętną liczbą
Czyli możliwości mamy:
x = 9*10 = 90 [9 możliwości x = y, 10 możliwości z]

c) ∀ - kwantyfikator "dla każdego"
∃ - kwantyfikator "istnieje takie, że"

∀(n∈D) 99| f(n) - n [dla każdego n należącego do dziedziny 99 jest podzielnikiem f(n) - n]
z tego wynika, że:
∀(n∈D)∃(w∈C) f(n) - n = 99w [dla każdego n należącego do dziedziny, istnieje takie w należące do liczb całkowitych, że 99w = f(n) - n]
xyz: n = 100x + 10y + z
xyz: f(n) = 100z + 10y + x
Dowód:
f(n) - n = 100z + 10y + 1x - (100x + 10y + z) = 100z + 10y + 1x - 100x - 10y - z = 99z -99x = 99(z-x) = 99w
c. n. u. [co należało udowodnić]