Question

Dział: Funkcja kwadratowa.

1.

2.

Jeszcze nie do końca rozumiem ten dział, więc proszę o pomoc.

Answer 1

1. 

-⅓ x² + 2x + 7/3 = 0  I*3 

-x² + 6x + 7 = 0

a = -1,  b = 6,  c = 7 

Δ = b² - 4ac = 6² - 4*(-1)1*7 = 36+28 = 64 

√Δ = 8 

x1 = (-b-√Δ)/2a = (-6-8)/(-2) = 7 

x2 = (-b+√Δ)/2a = (-6+8)/(-2) = -1

x = -1   v    x = 7  

 

Postać iloczynowa funkcji: 

y = a(x-x1)(x-x2) 

y = -(x-7)(x+1) 

============= 

Postac kanoniczna funkcji:

y = a(x-p)² + q 

     p = -b/2a = -6/(-2) = 3 

     q = -Δ/4a = -64/(-4) = 16 

y = -(x-3)² + 16 

=============

 

2. 

(x+3)² - 2(x-2)² = 4x + 10 

x² + 6x + 9 - 2(x² - 4x + 4) = 4x + 10 

x² + 6x + 9 - 2x² + 8x - 8 = 4x + 10

-x² + 14x + 1 - 4x - 10 = 0 

-x² + 10x - 9 = 0  I*(-1) 

x² - 10x + 9 = 0 

a = 1,  b = -10,  c = 9

Δ = b² - 4ac = (-10)² - 4*1*9 = 100-36 = 64 

√Δ = 8 

x1 = (-b-√Δ)/2a = (10-8)/2 = 2/2 = 1 

x2 = (-b+√Δ)/2a = (10+8)/2 = 18/2 = 9   

x = 1,   v   x = 9 

 

Postać iloczynowa funkcji: 

y = a(x-x1)(x-x2) 

y = *x-1)(x-9) 

=========== 

Postać kanoniczna funkcji: 

y = a(x-p)² + q 

     p = -b/2a = 10/2 = 5 

     q = -Δ/4a = -64/4 = -16 

y = (x-5)² - 16 

============ 

 

Def. 

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję y = ax² + bx + c, 

gdzie: 

x ∈ R i a ≠ 0.  

Liczby rzeczywiste a, b, oraz c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej.

 

Twierdzenie: 

Funkcja kwadratowa y = ax² + bx + c 

gdzie: 

x ∈ R, a ≠ 0  oraz Δ = b² - 4ac: 

- nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ < 0 

- ma tylko jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy Δ = 0 

- ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy Δ > 0.

 

Jeżeli a > 0, to parabola zwrócona jest ramionami do góry, wówczas: 

- funkcja jest malejąca w przedziale (-oo; p>, a rosnąca w przedziale <p;+oo) 

- zbiorem wartości funkcji jest zbiór ZW = <q; +oo) 

- dla argumentu p funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą q. 

Jeżeli a < 0, to parabola zwrócona jest ramionami do dołu, wówczas;

- funkcja jest rosnąca w przedziale (-oo; p), a malejąca w przedziale <p; +oo)

- zbiorem wartości funkcji jest zbiór ZW = (-oo; q>

- dla argumentu p funkcja przyjmuje najwiekszą wartość równą q. 

 

 

Answer 2

Zadanie 1.

 

 

Musimy wyznaczyć a b i c. Wzór ogólny y = ax² + bx + c

-x² + 6x + 7 = 0

a=-1

b= 6

c=0

 

Dalej postępujemy tak jak jest napisane w ~~TEORII~~ Δ>0 -> dwa miejsca zerowe

x=-1 ∧ x=7

Zadanie 2.

 

 

 Musimy doprowadzić do najprostrzej postaci, potem wyznaczamy a, b i c następnie wyliczamy Δ, jest większa od zera więc mamy dwa rozwiązania

x=9 ∧ x=1

======================================================================

Teoria.

======================================================================

Wzór ogólny dla funkcji kwadratowej to y=ax² + bx + c

 

Jak wyznaczyć te wartości? Np.:

 

y=13x²-2x+7

 

patrzymy na wzór ogólny i widzimy, że przy x² stoi a więc a=13, b stoi przy x więc b=-2, c to wyraz wolny więc c=7

 

y=-2x²+6

 

znów patrzymy na wzór ogólny i wypisujemy a stoi przy x² więc a=-2, b stoi przy x, nie ma nigdzie x więc b=0, c to wyraz wolny więc c=6

 

Jeżeli już potrafimy wyznaczać a, b i c przejdźmy do wyliczania Δ

Wzór, który należy zapamięta to Δ=b²-4ac, podstawiamy nasze a, b i c do tego wzoru i wychodzi nam wtedy delta. I teraz mamy trzy możliwości:

 

1° Δ>0 , mamy wtedy dwa miejsca zerowe, x₁ i x₂

 

to co wyjdzie jest naszą szukaną.

 

2° Δ=0, mamy wtedy tylko jedno miejsce zerowe x₀

 

Także podstawiamy nasze a b i c i to co nam wyjdzie to nasza szukana.

 

3° Δ<0, wtedy nie ma żadnego rozwiązania.

 

 

Istnieją także nierówności kwadratowe - jeżeli chcesz się więcej  dowiedzieć lub jest coś niejasnego to możesz mi napisać wiadomość prywatną z miłą chęcią wytłumaczę :)

 

 

 

Pozdrawiam :)