Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną w stosunku 2:3. W jakim .... Question from @R0DZYN

September 2018 1 26 Report

Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną w stosunku 2:3. W jakim stosunku wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta dzieli tę przeciwprostokątną?

Roma

Oznaczenia znajdują się na załączonym rysunku.

Dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostkoątną na dwie części c₁ i c₂ (c₁ + c₂ = c) w stosunku 2 : 3, czyli

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$

$2c_2 = 3 c_1 \ / \ : \ 2$

$c_2 = \frac{3}{2}c_1$

$c = c_1 + c_2 = c_1 + \frac{3}{2}c_1 = \frac{2}{2}c_1 + \frac{3}{2} c_1 = \frac{5}{2}c_1$

Korzystamy z tw. o dwusiecznej: dwusieczna kąta węwnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok propocjonalnie do długości pozostałych boków. Stąd

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b}$

$\frac{2}{3} = \frac{a}{b}$

$2b = 3 a \ / : \ 2$

$b = \frac{3}{2}a$

Z tw. Pitagorasa

$c^2 = a^2 + b^2$

$(\frac{5}{2}c_1)^2 = a^2 +(\frac{3}{2}a)^2$

$\frac{25}{4}c_1^2 = a^2 +\frac{9}{4}a^2$

$\frac{4}{4}a^2 +\frac{9}{4}a^2 = \frac{25}{4}c_1^2$

$\frac{13}{4}a^2 = \frac{25}{4}c_1^2 \ / \ : \ \frac{13}{4}$

$a^2 = \frac{25}{4}c_1^2 \cdot \frac{4}{13}$

$a^2 = \frac{25}{13}c_1^2$

$a = \sqrt{ \frac{25}{13}c_1^2} = \frac{5}{\sqrt{13}}c_1 = \frac{5\sqrt{13}}{13}c_1$

$b =\frac{3}{2}a = \frac{3}{2} \cdot \frac{5\sqrt{13}}{13}c_1 = \frac{15\sqrt{13}}{26}c_1$

Zapiszemy pole tego trójkąta na dwa sposoby.

$P = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{13}}{13}c_1 \cdot \frac{15\sqrt{13}}{26} c_1= \frac{75}{52} c_1^2$

$P = \frac{1}{2}ch = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}c_1 \cdot h = \frac{5}{4} c_1h$

Porównujemy wyliczone pola

$\frac{5}{4} c_1h = \frac{75}{52} c_1^2 \ / \ : \ c_1$

$\frac{5}{4} h = \frac{75}{52} c_1 \ / \ : \ \frac{5}{4}$

$h = \frac{75}{52} c_1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{15}{13}c_1$

Wysokość h podzieliła przeciwprostokątną na dwie części k₁ i k₂ (k₁ + k₂ = c)

Z tw. Pitagorasa obliczymy długość części k₁:

$k_1^2 + h^2 = a^2$

$k_1^2 = a^2 - h^2$

$k_1^2 = (\frac{5\sqrt{13}}{13} c_1)^2 - (\frac{15}{13}c_1)^2$

$k_1^2 = \frac{325}{169} c_1^2 - \frac{225}{169}c_1^2$

$k_1^2 = \frac{100}{169} c_1^2$

$k_1 = \sqrt{\frac{100}{169} c_1^2} = \frac{10}{13} c_1$

Obliczymy długość części k₂:

$k_1 + k_2 = c$

$k_2 = c - k_1$

$k_2 = \frac{5}{2}c_1 - \frac{10}{13} c_1 = \frac{65}{26}c_1 - \frac{20}{26} c_1 = \frac{45}{26} c_1$

Obliczymy stosunek w jakim wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta podzieliła przeciwprostokątną:

$k_1 \ : \ k_2 = \frac{10}{13} c_1 \ : \ \frac{45}{26} c_1= \frac{10c_1}{13} \cdot \frac{26}{45c_1} = \frac{4}{9} = 4 \ : \ 9$

Oblicz i podaj przedział liczbowy :|x+4|>6|x+5|≤4|x-6|<4|x-½|≤4

Wybierz jedną z propozycji i napisz: a)pracę pt. Moja modlitwa o pokój, b)hasło pokój do encyklopedii dla dziesięciolatków (zaplanuj odpowiedni materiał ilustracyjny) c) list otwarty do rządzących będący apelem o zachowanie pokoju

W formie rozprawki odpowiedz na pytanie zawarte w temacie Temat: Czy obojętny znaczy niewinny?-o postawie profesora Sonnenbrucha. Bardzo proszę o odp.

Wypisz twórców baroku oraz ich najważniejsze osiągnięcia. Bermini, Coraviggio,Nalaquez,Rubens,Rembrand,Vermeer,Van Delf,Jan Sebastian,Bach,G.F Handel,A.Viraldi.

Napisz opowiadanie po angielsku o duchach lub nawiedzonym domu.

Jak zmieniają sie Ligia i Winicjusz pod wpływem miłośći w powieści Quo Vadis.

Dziwny jest ten świat , pełen zagadek i tajemnic. Co najbardziej cię w nim zadziwa, co chciałbyś poznać, odkryć ...? Napisz odpowiedź składającą się co najmniej z 15 wypowiedzeń.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social