Question

Dwa ciala poruszaja sie z predkosciami v1(2,0) ; v2(0,3). W chwili t=0 ich polozenia wynosily odpowiednio r1=(-3,0) , r2(0,-3). Kiedy i gdzie znajda sie nablizej siebie?

Answer 1

Współrzędne pierwszego ciała w funkcji czasu:  P1(-3 + 2·t ; 0)
Współrzędne drugiego ciała w funkcji czasu:  P2(0 ; -3 + 3·t)

Odległość między ciałami w funkcji czasu:
L = √((-3 + 2·t)² + (-3 + 3·t)²) = √(9 - 12·t +4·t² + 9 - 18·t +9·t²) = √(13·t² - 30·t +18) = √f(t)

Odległość będzie minimalna gdy funkcja kwadratowa pod pierwiastkiem osiągnie minimum. Dla jego znalezienia można zastosować pochodną (lub znaleźć wierzchołek paraboli) :
df/dt = 26·t - 30 = 0      --->     t = 30/26 = 15/13 = 1.154 s

Minimalna odległość Lmin = √(13·(15/13)² - 30·15/13 +18) = 0.832

Położenia ciała dla największego zbliżenia:
P1(-3 + 30/13 ; 0)          P2(0 ; -3 + 45/13)
P1(-9/13 ; 0)       P2(0 ; 6/13)