Question

Dwa ciała o masach m1 = 1kg i m2 = 2kg połączono nicią, która jest przerzucona przez bloczek znajdujący się na wierzchołku równi pochyłej o kącie nachylenia a = 30 stopni (patrz rys.). Współczynnik tarcia między ciałem o masie m1 i równią wynosi f = 0.1. Zakładamy, że nić jest nieważka i ślizga się po bloczku bez tarcia (bloczek nie wpływa na ruch układu)

a) wykonaj dokładny rysunek z zaznaczeniem wszystkich sił działających na bloczek
b) zapisz równania ruchu dla obu klocków
c) oblicz przyspieszenie układu

Answer 1

Odpowiedź:

a) rysunek sił działających w układzie - w załączeniu

b) równania ruchu poszczególnych klocków:

- dla klocka o masie m₁

1) bilans sił:   m₁ * a = N - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)

2) równanie drogi:   S(t) = 1/2 * a * t²

3) równanie prędkość:    V(t) = a * t

- dla klocka o masie m₂

1) bilans sił:   m₂ * a = m₂ * g - N

2) równanie drogi:   S(t) = 1/2 * a * t²

3) równanie prędkość:    V(t) = a * t

c) wartość przyśpieszenia w układzie:  a = 4,62 m/s²

Wyjaśnienie:

Zakładamy, że w układzie klocków wystąpi niezrównoważona siła, pod wpływem której nastąpi ruch układu tych klocków.

W przeciwnym razie nie byłoby czym zajmować się w zadaniu.

Zakładam więc, że wypadkowa, niezrównoważona siła  Fw będzie działać wzdłuż kierunku działania siły Fc2.

Zatem:

a) równanie bilansu sił działających na ciało o masie m₂:

[1]   Fw = Fc₂ - N

[2]  Fc₂ = m₂* g

[3]  Fw = m₂ * a

To, z porównania [1], [2] i [3], mamy:

[4]  m₂ * a = m₂ * g - N

b) równanie bilansu sił działających na ciało o masie m₁:

[5]  Fw = N - (Fc₁w + T)

[6]  Fw = m₁ * a

[7]  Fc₁w = Fc₁ * sin ∝ = m₁ * g * sin ∝

[8]  R = Fc₁n = Fc₁ * cos ∝ =m₁ * g * cos ∝

[9]   T = R * ft = m₁ * g * ft * cos ∝

To, z porównania: [5], [6], [7], [8] i [9] otrzymamy:

[10]  m₁ * a = N - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)

Mamy wobec tego dwa równania: [4] i [10] z dwiema niewiadomymi: a i N.

Wobec tego, rozwiązując taki układ równań, wyznaczymy szukane wielkości: a i N.

[4]  m₂ * a = m₂ * g - N

[10]  m₁ * a = N - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)

Z [4] wyznaczymy wstępnie zależność N = f(m₂, a), czyli:

[4]  N = m₂ * g - m₂ * a

i wstawimy do [10], otrzymując:

[10]  m₁ * a = m₂ * g - m₂ * a - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)

i grupując wyrazy stronami, trzymamy:

[10]  m₁ * a + m₂ * a  = m₂ * g - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)

[10]  a * (m₁ + m₂) = m₂ * g - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)

[10]  a = [m₂ * g - (m₁ * g * sin ∝ + m₁ * g * ft * cos ∝)] /  (m₁ + m₂)

I ostatecznie, po podstawieniu wartości:

a = [2 kg * 9,81 m/s² - (1 kg * 9,81 m/s² * sin(30°) + 1 kg * 9,81 m/s² * 0,1 *

     cos(30°))] /  (1 kg + 2 kg)

a = [19,62 N - (4,905 N + 0,85 N] / 3 kg

a = (19,61 N - 5,76 N) / 3 kg

a = 13,85 N / 3 kg

a = 4,62 m/s²

Równaniu ruchu dla poszczególnych klocków:

1) dla klocka o masie m₁

a) droga: S(t) = 1/2 * a * t²

b) prędkość: V(t) = a * t

2) dla klocka o masie m₂:

a) droga: S(t) = 1/2 * a * t²

b) prędkość: V(t) = a * t