Question

(DUZO PKT) Wykonaj test ;)

Answer 1

1.
a) x^3 - 3x^2 - 4x - 12 = 0
x^2(x+3) - 4(x+3) = 0
(x^2 - 4)(x+3) = 0
(x-2)(x+2)(x+3) = 0
x = 2 lub x = -2 lub x = -3

b) 9x^3 - 4x^2 - 27x + 12 = 0
9x(x^2 - 3) - 4(x^2-3) = 0
(x^2 - 3)(9x-4) = 0
(x-s[3])(x+s[x])(x-4/9) = 0
x = s[3] lub x = -s[3] lub x = 4-9
s[3] - pierwiastek kwadratowy z x

c) (x^2 - x - 6)(x^2 + 2x + 3) = 0
(x+2)(x-3)(x^2+2x+3) = 0
postać trzeciego nawiasu to postać nierozkładalna, bo delta jest ujemna
(x+2)(x-3) = 0
x = -2 lub x=3

d) (x^3-1/2)(x^2-4)(x^2 - 3) =0
Niech a = pierwiastek sześcienny z 1/2 = pierwiastek sześcienny z 4 podzielone przez 2.
x^3 = 1/2 lub x^2 = 4 lub x^2 = 3
x = a lub x = -a lub x = 2 lub x=-2 lub x = s[3] lub x = -s[3]

2.
a) W(x) = 2x^3 - px^2 + q
W(0) = q = 3, stąd q = 3
stąd W(x) = 2x^3 - px^2 + 3
W(-1) = 2*(-1)^3 - p*(-1)^2 + 3 = -2 - p + 3 = -p + 1
-p+1 = 4; -p = 3; p = -3

b) W(x) = -x^4 + px^3 - qx +10
W(2) = -2^4 + p*2^3 - q*2 +10 = 30
W(5) = -5^4 + p*5^3 - qq*5 + 10 = 0
W(2) = -16 + 8p - 2q 10 = 30
W(5) = -625 +125p -5q +10 = 0
W(2) = 8p - 2q = 36
W(5) = 125 - 5q = 615
W(2) = 4p - q = 9
W(5) = 25p - q = 123
q = 9-4p
25p - q = 25p -(9-4p) = 29p-9=123
29p = 132
p = 132/29
q = 9-4*132/29.

3. Zadanie ma sens, gdy:
(1) 9x-9 >0 [równoważne: 9x>9; x>1]
(2) x+2 > 0 [równoważne: x>-2]
(3) x> 0
Warunki (1), (2), (3) muszą zachodzić jednocześnie, zatem bierzemy część wspólną rozwiązań; jest nią x>1.
Wzór to: x(9x-9)(x+2) = ... (po wymnożeniu i uporządkowaniu) = 9x^3 + 9x^2 - 18x.
Objętość sześcianu (równa x^3) powiększona 9-cio krotnie da objętość pudełka; zatem:
9*(x^3) = 9x^3 + 9x^2 - 18x
9x^2 - 18x = 0
x^2 - 2x = 0
x(x-2) = 0
x = 0 lub x-2  = 0
[sprzeczność z dziedziną, wyznaczoną na początku] lub x = 2
x=2

4. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że:
(x+4)^2 + (x-10)^2 = (x+6)^2
(x^2 + 8x + 16) + (x^2 - 20x + 100) = (x^2 + 12x +36)
[pomijam upraszczanie]
postać uporządkowana: x^2 - 24x + 80 = 0
delta D = 24^2 - 4*80 = 256
s[D] = 16
x = (24+16)/2 = 20 lub x = (24-16)/2 =4 (odrzucamy drugie rozwiązanie, bo długość boku (x-10) byłaby ujemna, co jest niemożliwe)
stąd x = 20
x-10 = 10
x+4 = 24
Pole prostokąta wynosi 10*24 = 240.