Question

Długości odcinków, z których składa się spirala, tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q=0,9. Uzasadnij, że jeśli najdłuższy z odcinków ma długość 2, to suma długości dowolnej liczby początkowych odcinków tej spirali jest mniejsza od 20.

POTRZEBNE NA ZARAZ

Answer 1

S = a (1-q^m) / (1-q)        >> a - pierwszy wyraz ciagu, suma poczatkowych m wyrazow

a_n=q^(n-1)*a       --> najdluzszy odcinek     a_n=2

q=0,9

 

S<20

a(1-q^m)/(1-q) < 20                      a = a_n/q^(n-1) = 2/q^(n-1)

2(1-q^m)/((1-q)q^(n-1)) < 20

1-0,9^m/((0,1)0,9^(n-1)) < 10

1-0,9^m/0,9^(n-1) < 1

0,9 ^ (m-n+1) > 0     ten warunek spelniony jest dla dowolnych m i n takich ze m<=n