Question

Drut długości 2 m podzielono na dwie części : z jednej zrobiono kwadratową ramkę , a z drugiej prostąkatną , w której jeden bok prostokąta jest 3 razy większy od drugiego. Jak należy podzielić drut, aby suma pól kwadratu i prostokata była najmniejsza?

Answer 1

N- długośc części na kwadratową ramkę.
2-n - długosć części na prostokątną ramkę
k - długość krótszego boku prostokąta
3k - długość dłuższego boku
Obwód prostokąta = 2*k + 2*3k
2-n = 2*k+ 2*3k
2-n = 8k  |:8
k = (2-n)/8

Pole prostokata = k*3k = 3k² = 3*((2-n)/8)² = 3*(4-4n+n²) /64

n/4 - długość boku  kwadratowj ramki
Pole kwadratu  = (n/4)² = n²/16

Suma pól  = f(n)

f(n) = n²/16 + 3/64*(4-4n+n²)
= 4n²/64+(12 - 12n + 3n²)/64 = (4n² + 12 - 12n + 3n²)/64 =
=(7n²-12n+12)/64 = 7/64 n² + 12/64n - 12/64 = 7/64 n² - 3/16n + 3/16

Jak widać jest to funkcja kwadratowa o współczynnikach:
a = 7/64
b = - 3/16
c = 3/16

Ponieważ a >0 funkcja ma minimum dla

n = p = -b/2a
n = p = (3/16)/(2*7/64) = (3/16) / (7/32) = 3/16*32/7 = 3*2/7 = 6/7

Suma pól będzie najmniejsza gdy na ramkę kwadratową przeznaczymy 6/7 m a na prostokątną 1 1/7 m