Question

Dla jakich wartosci parametru "a" prosta y=ax+b przechodzi przez punkt P=(3,0) i prezcina parabole y=-x²+x+2 w dwoch punktach o dodatnich odcietych

Answer 1

Najpierw podstawiam współrzędne punktu P do równania prostej y=ax+b, wtedy za y=0, x=3 i mam 0=3*a+b, zatem otrzymuję że b=-3a. Czyli mogę zapisać równanie prostej jako y=ax-3a. Teraz układam układ równań:
y=ax-3a
y=-x²+x+2
Skoro mają być dwa punkty przecięcia to układ ten nie może być sprzeczny (bo wtedy nie ma rozwiązania) jak i nie może mieć nieskończenie wielu rozwiązań, dodatkowo zatem Δ>0 (bo dwa rozwiązania) oraz ze wzorów Viete'a mam, że skoro odcięte (pierwsza współrzędna kartezjańska) mają być dodatnie to wtedy x₁+x₂=(-b)/a >0, x₁*x₂=c/a >0. Podstawiam do drugiego równania pierwsze i mam:
ax-3a=-x²+x+2
ax-3a+x²-x-2=0
x²+x(a-1)+(-3a-2)=0
Δ=(a-1)²-4*1*(-3a-2)=a²-2a+1+12a+8=a²+10a+9
Pierwszy warunek a²+10a+9 >0 (bo mają być dwa rozwiązania)
Teraz liczymy x₁*x₂=c/a=(-3a-2)/1=(-3a-2)>0, zatem 3a+2<0, a co za tym idzie 3a<-2, zatem dzieląc obustronnie przez 3 mamy, że a<-2/3.
Teraz zabierzmy się w końcu za a²+10a+9 >0 , najpierw Δa=100-36=64, a₁=-9, a₂=-1.
Rysujemy oś, zaznaczamy a₁ i a₂ i rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty z ramionami do góry (bo współczynnik przy a²>0) wtedy szukamy przedziału dla którego wartości są dodatnie i mamy, że a∈(-∞,-9)u(-1,+∞). Dodatkowo mamy, że x₁+x₂=(-b)/a >0 zatem i tu podstawiamy z pierwotnego równania x₁+x₂=(-b)/a=(1-a)/1=1-a>0, zatem 1-a>0, a dalej a<1. Łączymy wszystkie warunki:
a<1
a∈(-∞,-9)u(-1,+∞)
a<-2/3
Najlepiej zaznaczyć je na osi. Szukamy ich iloczynu a więc części wspólnej. Jest to przedział a∈(-∞,-9)u(-1, -2/3). I chyba takie jest rozwiązanie. Wydaje mi się że wszystko jest dobrze :)