Question

3.Wyznacz te wartopsci parametru m dla ktorych rownanie (2m²+m-1)x²+(5-m)x-6=0 ma dwa rozne pierwiastki tego samego znaku

4.dla jakich wartosci parametru m rownanie mx²-(m-3)x+1=0 ma rowne pierwiastki x1 i x2 spelniajace warunek Ix1I+Ix2I ≤1

Answer 1

3.
a=2m²+m-1, b=5-m, c=-6
Równanie to będzie miało dwa różne pierwiastki tego samego znaku gdy będą spełnione warunki
a≠0
Δ>0
x₁*x₂=c/a>0
Zatem Δ>0 więc Δ=(5-m)²-4*(-6)*(2m²+m-1)=25-10m+m²+48m²+24m-24=49m²+14m+1>0
Δ₁=14²-4*49*1=196-196=0 m=-14/98=-1/7≈-0,14
zatem Δ>0, m∈(-∞,-1/7)u(-1/7,+∞)
a≠0 więc 2m²+m-1, więc Δ=1²-4*(-1)*1=1+4=5
m₁=[-1-√5]/4, m₂=[-1+√5]/2, zatem m≠[-1-√5]/4 i m≠[-1+√5]/4.
c/a>0 czyli -6/(2m²+m-1)>0 czyli -6*(2m²+m-1)>0 /:(-6)
2m²+m-1<0 więc Δ=1²-4*(-1)*1=1+4=5, zatem m₁=[-1-√5]/4≈-0,81, m₂=[-1+√5]/4≈0,31, zatem m∈([-1-√5]/4; [-1+√5]/4)
Zbieramy wszystkie warunki i bierzemy ich część wspólną i wychodzi że rozwiązaniem są x∈([-1-√5]/4, -1/7)u(-1/7, [-1+√5]/4)

4.
Jeśli ma mieć dwa różne pierwiastki to
a>0 czyli m>0 zatem m∈(0,+∞)
Δ>0 czyli Δ=(-(m-3))²-4*m*1=m²-6m+9-4m=m²-10m+9
czyli m²-10m+9>0 zatem Δ₁=(-10)²-4*9*1=100-36=64, m₁=(10-8)/2=1, m₂=(10+8)/2=9 zatem m∈(-∞,1)u(9,+∞). Już widzimy że częścią wspólną zbioru (0,+∞) i (-∞,1)u(9,+∞) jest zbiór (0,1).
Nie wiem czy ta druga część też jest potrzebna ale wydaje mi się że rozwiązaniem jest tu x∈(0,1)
I w tym zbiorze musi zachodzi warunek Ix1I+Ix2I ≤1.
Policzmy wartości pierwiastków tego równania, wiemy już że Δ=m²-10m+9, zatem x1=[m-3-√(m²-10m+9)]/2m oraz x2=[m-3+√(m²-10m+9)]/2m i mamy że [m-3-√(m²-10m+9)]/2m+[m-3-√(m²-10m+9)]/2m≤1, zatem [m-3+m-3+√(m²-10m+9)-√(m²-10m+9)]/2m≤1, zatem [2m-6]/2m≤1 /*2m
2m-6≤2m, 2m-2m≤6 zatem 0≤6 (prawda) [Pamiętaj że jest to jeden przypadek, bo ta nierówność jest z wartościami bezwzględnymi, ja przepisałam x1 i x2 bez zmiany znaku więc założyłam że te rozwiązania są dodatnie]