Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem jest para liczb dodatnich w ząłączniku.... Question from @yumisajuri13

September 2018 1 19 Report

Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem jest para liczb dodatnich

w ząłączniku

Roma

$\left \{ {{(a-1)x + 2y = 3} \atop {a^2x + 8y = 2a}} \right$

Układ rozwiążemy metodą wyznacznikową

$W =\left|\begin{array}{cc} a-1&2 \\ a^2 &8 \end{array}\right| = (a - 1) \cdot 8 - 2 \cdot a^2 = 8a -8 -2a^2 = - 2a^2 +8a- 8$

$W_x =\left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2a &8 \end{array}\right| = 3\cdot 8 - 2 \cdot 2a= 24 - 4a = -4a + 24$

$W_y =\left|\begin{array}{cc} a-1&3 \\ a^2 &2a \end{array}\right| = (a - 1) \cdot 2a - 3 \cdot a^2 = 2a^2 - 2a - 3a^2 = -a^2 - 2a$

Aby układ równań miał rozwiązanie musi być spełniony warunek: W ≠ 0

$- 2a^2 +8a- 8 \neq 0 \ / :(-2)$

$a^2 -4a + 4 \neq 0$

$(a-2)^2 \neq 0$

$a - 2 \neq 0$

$a \neq 2$

$x = \frac{W_x}{W} = \frac{-4a + 24}{- 2a^2 +8a- 8} = \frac{-2 \cdot (2a -12)}{- 2 \cdot (a^2 -4a+4)} =\frac{2a -12}{a^2 -4a+4}=\frac{2 \cdot (a -6)}{(a-2)^2}$

$y = \frac{W_y}{W} = \frac{-a^2 - 2a}{- 2a^2 +8a- 8} = \frac{-a \cdot (a+ 2)}{- 2 \cdot (a^2 -4a+4)} =\frac{a \cdot (a+ 2)}{2 \cdot (a-2)^2}$

Rozwiązaniem ma być para liczb dodatnich, zatem x > 0 i y > 0

$\frac{2 \cdot (a -6)}{(a-2)^2} > 0 \ \wedge \ \frac{a \cdot (a+ 2)}{2 \cdot (a-2)^2} > 0$

$\frac{2 \cdot (a -6)}{(a-2)^2} > 0$

Jest to nierówność wymierna, więc przekształcamy ją równowartościowo do postaci wielomianowej z dodatkowym założeniem, że wyrażenie znajdujące się w mianowniku jest różne od zera:

$2 \cdot (a -6)(a-2)^2 > 0 \ \wedge \ (a-2)^2 \neq 0$

$(a-2)^2 \neq 0$

$a-2 \neq 0$

$a \neq 2$

$2 \cdot (a -6)}(a-2)^2 > 0 \ /:2$

$(a -6)(a-2)^2 > 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$(a -6)(a-2)^2 = 0$

$a -6 = 0 \vee (a-2)^2 = 0$

$a -6 = 0$

$a = 6$

$(a-2)^2 = 0$

$a-2= 0$

$a = 2$

Zaznaczamy miejsca zerowe 2 i 6 na osi i rysujemy przybliżony wykres, który zaczynamy rysować z prawej strony od góry, bo współczynnik przy największej potędze zmiennej a jest dodatni. Wykres przecina oś w miejscu zerowym 6, bo jest to pierwiastek 1-krotny i "odbija się" od osi w miejscu zerowym 2, bo jest to pierwiastek 2-krotny.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności, czyli zbiór argumentów a, dla których wartości są większe od zera (leżą nad osią), w rozwiązaniu uwzględniamy dodatkowe założenie a ≠ 2:

$a \in (6; \ +\infty)$

$\frac{a \cdot (a+ 2)}{2 \cdot (a-2)^2} > 0$

Jest to nierówność wymierna, więc przekształcamy ją równowartościowo do postaci wielomianowej z dodatkowym założeniem, że wyrażenie znajdujące się w mianowniku jest różne od zera:

$a \cdot (a+ 2) \cdot 2(a-2)^2 > 0 \ \wedge \ 2 \cdot (a-2)^2 \neq 0$

$2 \cdot (a-2)^2 \neq 0 \ / : 2$

$(a-2)^2 \neq 0$

$a-2 \neq 0$

$a \neq 2$

$a \cdot (a+ 2) \cdot 2(a-2)^2 > 0 \ /:2$

$a \cdot (a+ 2)(a-2)^2 > 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe

$a \cdot (a+ 2)(a-2)^2= 0$

$a = 0 \vee a + 2 = 0 \vee (a-2)^2 = 0$

$a = 0$

$a +2 = 0$

$a = -2$

$(a-2)^2 = 0$

$a-2= 0$

$a = 2$

Zaznaczamy miejsca zerowe - 2, 0 i 2 na osi i rysujemy przybliżony wykres, który zaczynamy rysować z prawej strony od góry, bo współczynnik przy największej potędze zmiennej a jest dodatni. Wykres przecina oś w miejscach zerowych - 2 i 0, bo są to pierwiastki 1-krotne i "odbija się" od osi w miejscu zerowym 2, bo jest to pierwiastek 2-krotny.

$a \in (-\infty; \ -2) \cup (0; \ 2) \cup (2; \ +\infty)$